Løsningsforslag — Eksamen 2P Høst 2023 (MAT1023)

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

a)

Selma betaler 25 kr per enkeltbillett og 415 kr for et fleksikort med 20 reiser. Lar $n$ være antall reiser. Fleksikortet lønner seg når prisen for $n$ enkeltbilletter overstiger prisen for fleksikortet:

$$25n > 415$$

$$n > \frac{415}{25} = 16{,}6$$

Siden $n$ må være et helt tall, sjekkes $n=16$ og $n=17$: $16\cdot25=400$ kr (mindre enn 415 kr, fleksikort lønner seg ikke), $17\cdot25=425$ kr (mer enn 415 kr).

Fleksikortet lønner seg fra og med den $17.$ reisen.

b)

20 enkeltbilletter koster $20\cdot25=500$ kr.

Formel (prosentvis besparelse): $\text{besparelse} = \frac{\text{gammel pris} - \text{ny pris}}{\text{gammel pris}}\cdot100\,\%$

Gammel pris er 20 enkeltbilletter (500 kr), ny pris er fleksikortet (415 kr):

$$\begin{aligned}\text{besparelse} &= \frac{500-415}{500}\cdot100\,\% \\[0.9em] &= \frac{85}{500}\cdot100\,\% \\[0.9em] &= \underline{17\,\%}\end{aligned}$$

Selma sparer 17 % ved å bruke fleksikortet fremfor 20 enkeltbilletter.

Oppgave 2

Formel (målestokk): $\text{målestokk} = \text{kartavstand} : \text{virkelig avstand}$

Kartavstanden er 40 cm. Den virkelige avstanden er 20 km, omregnet til cm:

$$20\text{ km} = 20\cdot100\,000\text{ cm} = 2\,000\,000\text{ cm}$$

Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand, forkortet slik at første tall blir 1:

$$40 : 2\,000\,000 = 1 : 50\,000$$

Målestokken på kartet er $1:50\,000$.

Oppgave 3

Kravene til datasettet (10 dager) er: typetall 5 km, median 8 km, gjennomsnitt 9 km, altså sum $= 9\cdot10=90$ km.

Alternativ 1, bruker 8 km minst én dag

Sortert liste: $5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 8,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 22$

Kontroll av kravene:

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger, flere ganger enn noe annet tall $\Rightarrow$ typetall $=5$.
• Median: 10 verdier, medianen er gjennomsnittet av 5. og 6. verdi: $\frac{8+8}{2}=8$.
• Gjennomsnitt: $\frac{5+5+5+6+8+8+9+10+12+22}{10}=\frac{90}{10}=9$.
• 8 km brukt: ja, to av dagene (5. og 6. verdi).

Alternativ 1: $5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 8,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 22$ (km).

Alternativ 2, bruker aldri 8 km, minst halvparten av tallene skal være tall som ikke ble brukt i alternativ 1

Sortert liste: $3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 11,\ 13,\ 14,\ 14,\ 15$

Kontroll av kravene:

• Typetall: 5 forekommer 4 ganger, flere ganger enn noe annet tall $\Rightarrow$ typetall $=5$.
• Median: 5. og 6. verdi er 5 og 11: $\frac{5+11}{2}=8$.
• Gjennomsnitt: $\frac{3+5+5+5+5+11+13+14+14+15}{10}=\frac{90}{10}=9$.
• 8 km aldri brukt: ingen av verdiene er 8, kravet er oppfylt.
• Minst halvparten er tall som ikke ble brukt i alternativ 1: alternativ 1 brukte tallene $\{5,6,8,9,10,12,22\}$. Av de 10 verdiene i alternativ 2 er $3,\,11,\,13,\,14,\,14,\,15$ (6 av 10) tall som ikke forekommer i alternativ 1, altså mer enn halvparten.

Alternativ 2: $3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 11,\ 13,\ 14,\ 14,\ 15$ (km).

Oppgave 4

Kommentar til Selma og Tobine:

Selma har rett. Nullproduktsetningen sier at et produkt av to faktorer er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null. Siden $(x+4)(x-1)=0$ har null på høyre side, kan setningen brukes direkte: $x+4=0$ eller $x-1=0$, altså $x=-4$ eller $x=1$.

Tobine tar feil. Nullproduktsetningen gjelder kun når produktet er lik null, ikke lik et vilkårlig tall som $-6$. At $(x+2)(x-3)=-6$ betyr ikke at $x+2=-6$ eller $x-3=-6$ hver for seg, fordi det finnes uendelig mange par av faktorer som multiplisert gir $-6$ (for eksempel $2\cdot(-3)$, $1\cdot(-6)$, $6\cdot(-1)$, osv.), ikke bare de to hun prøvde.

Riktig løsning av $(x+2)(x-3)=-6$:

Ligningen må først skrives om slik at høyre side er null, ved å gange ut venstre side:

$$(x+2)(x-3) = -6$$

$$x^2-3x+2x-6 = -6$$

$$x^2-x-6 = -6$$

$$x^2-x = 0$$

Nå er høyre side null, og nullproduktsetningen kan brukes etter faktorisering:

$$x(x-1) = 0$$

$$x=0 \quad \text{eller} \quad x-1=0 \Rightarrow x=1$$

Kontroll for $x=0$:

$$(0+2)(0-3)=2\cdot(-3)=-6 \quad ✓$$

Kontroll for $x=1$:

$$(1+2)(1-3)=3\cdot(-2)=-6 \quad ✓$$

Løsningen av $(x+2)(x-3)=-6$ er $x=0$ eller $x=1$.

---

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Bildet viser tre kjøp: 1 vase + 3 roser for 261 kr, 2 vaser + 2 roser for 474 kr, og 3 vaser + 6 roser for 747 kr. La $v$ = prisen på én vase (kr), $r$ = prisen på én rose (kr).

Likning I: $v+3r=261$ Likning II: $2v+2r=474$ Likning III: $3v+6r=747$

Bruker addisjonsmetoden på Likning I og II. Deler først Likning II på 2:

$$v+r=237$$

Trekker denne fra Likning I for å eliminere $v$:

$$(v+3r)-(v+r) = 261-237$$

$$2r = 24$$

$$r = \underline{12}$$

Setter $r=12$ inn i $v+r=237$:

$$v = 237-12 = \underline{225}$$

Kontroll mot Likning III: $3\cdot225+6\cdot12=675+72=747$ ✓, stemmer med det tredje kjøpet.

En vase koster $225\text{ kr}$, og en rose koster $12\text{ kr}$.

Oppgave 2

Formel (ny pris ut fra prisindeks): $\text{ny pris} = \text{gammel pris}\cdot\frac{\text{ny indeks}}{\text{gammel indeks}}$

Gammel pris er 35,90 kr (2019), gammel indeks er 99,9 (2019), ny indeks er 119,8 (2022):

$$\begin{aligned}\text{ny pris} &= 35{,}90\cdot\frac{119{,}8}{99{,}9} \\[0.9em] &\approx 35{,}90\cdot1{,}1992 \\ &\approx \underline{43{,}05}\text{ kr}\end{aligned}$$

Dette er prisen produktet skulle hatt i 2022 dersom det hadde fulgt prisindeksen nøyaktig. Den faktiske prisen i 2022 var 39,90 kr.

Siden $39{,}90\text{ kr} < 43{,}05\text{ kr}$, har den faktiske prisen økt mindre enn prisindeksen tilsier. Som kontroll, den faktiske prosentvise økningen var:

$$\frac{39{,}90-35{,}90}{35{,}90}\cdot100\,\% \approx 11{,}1\,\%$$

mens prisindeksen økte:

$$\frac{119{,}8-99{,}9}{99{,}9}\cdot100\,\% \approx 19{,}9\,\%$$

Nei, dette merket av sjokoladepålegg steg ikke mer enn prisindeksen. Prisen økte med ca. 11,1 %, mens prisindeksen økte med ca. 19,9 % i samme periode.

Oppgave 3

Sortert antall mål stigende: $11,\ 11,\ 12,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 15,\ 15,\ 16,\ 25$ (11 spillere).

a)

Typetall: 15 forekommer 3 ganger, oftere enn noe annet tall $\Rightarrow$ typetall $=\underline{15\text{ mål}}$.

Formel (variasjonsbredde): $\text{variasjonsbredde} = \text{høyeste verdi} - \text{laveste verdi}$

$$\text{variasjonsbredde} = 25-11 = \underline{14\text{ mål}}$$

Median: 11 verdier (oddetall), medianen er den midterste, altså den 6. verdien i den sorterte listen:

$$\text{median} = \underline{14\text{ mål}}$$

b)

Formel (gjennomsnitt): $\text{gjennomsnitt} = \frac{\text{sum av verdiene}}{\text{antall verdier}}$

Summen av alle verdiene:

$$\begin{aligned}&25+16+15+15+15+14 \\ &+13+12+12+11+11 = 159\end{aligned}$$

Delt på antall verdier (11):

$$\begin{aligned}\text{gjennomsnitt} &= \frac{159}{11} \\[0.9em] &\approx \underline{14{,}5\text{ mål}}\end{aligned}$$

Standardavviket regner vi ut med GeoGebra. Legg de 11 verdiene inn i regnearket og velg Enkeltvariabelanalyse. Les av standardavviket $\sigma$ i resultatet:

$$\sigma \approx \underline{3{,}7\text{ mål}}$$

Gjennomsnittlig antall mål for toppscorerne var ca. 14,5 mål, med et standardavvik på ca. 3,7 mål.

c)

Sammenligning 2021 mot 2022:

Gjennomsnittet er tilnærmet likt begge år (ca. 14,5 mål), men de to andre målene er ganske forskjellige. I 2021 er medianen (11) betydelig lavere enn gjennomsnittet (14,5), noe som tyder på en skjev fordeling der noen få spillere med svært mange mål trekker gjennomsnittet opp, mens de fleste av de øvrige toppscorerne lå lavere. I 2022 ligger medianen (14) tett opptil gjennomsnittet (14,5), noe som tyder på en jevnere fordeling blant de 11 toppscorerne.

Dette bekreftes av standardavviket: 2021 hadde et standardavvik på 6,7 mål, nesten dobbelt så høyt som 2022 sitt standardavvik på 3,7 mål. Det betyr at målforskjellene mellom toppscorerne var langt større i 2021 enn i 2022, altså var 2022-sesongens toppscorerliste mer jevnbyrdig.

Oppgave 4

Adam har et lån på 2 500 000 kr, med rente 0,33 % per måned og et gebyr på 50 kr per termin. Terminbeløpet er fast, 13 385 kr per måned.

Formel (rente per termin): $\text{rente} = \text{gjenstående lån}\cdot0{,}0033$

Formel (avdrag per termin): $\text{avdrag} = \text{terminbeløp} - \text{rente} - \text{gebyr}$

Formel (nytt lånebeløp): $\text{nytt lån} = \text{gjenstående lån} - \text{avdrag}$

For måned 1: gjenstående lån er 2 500 000 kr.

$$\text{rente}_1 = 2\,500\,000\cdot0{,}0033 = 8\,250{,}00\text{ kr}$$

$$\text{avdrag}_1 = 13\,385-8\,250{,}00-50 = 5\,085{,}00\text{ kr}$$

$$\text{nytt lån}_1 = 2\,500\,000-5\,085{,}00 = 2\,494\,915{,}00\text{ kr}$$

Samme beregning gjentas for hver etterfølgende måned, med forrige måneds "nytt lån" som ny startverdi (bruker GeoGebra regneark til å gjennomføre beregningen for alle 24 månedene):

$B$3;2), avdrag =$B$1-C6-$B$2, lån ved slutt =B6-D6">

Etter de to første årene, 24 terminer, er lånet redusert fra 2 500 000 kr til $2\,373\,214{,}52\text{ kr}$. Legg merke til at avdraget øker litt for hver måned, siden renten regnes av et stadig lavere lånebeløp mens terminbeløpet holdes fast, dette er kjennetegnet på et annuitetslån (i motsetning til et serielån, der avdraget er fast og terminbeløpet synker).

Oppgave 5

Læreren ber elevene tegne en trekant $ABC$ der $\angle B=60°$, $BC=8$ cm og $AC=6$ cm. Trym og Torgeir mener begge at trekantene deres oppfyller kravene, men trekantene er ulike.

Undersøker om en slik trekant i det hele tatt finnes:

Vi konstruerer i GeoGebra:

1. Tegn $BC$ med lengde 8 cm.
2. Tegn en stråle fra $B$ som danner $60°$ med $BC$. Punktet $A$ må ligge på denne strålen.
3. Mål den korteste avstanden fra $C$ til strålen med verktøyet Avstand.

Avstanden blir:

$$h \approx 6{,}93\text{ cm}$$

Dette er den minste avstanden $AC$ kan ha, uansett hvor på strålen $A$ ligger.

Oppgaven krever $AC=6$ cm. Det er kortere enn $6{,}93$ cm.

Da finnes det ikke noe punkt $A$ som gir $AC=6$ cm samtidig som $\angle B=60°$ og $BC=8$ cm.

Sirkelen med radius 6 cm rundt $C$ (alle punkter med $AC=6$ cm) når heller ikke strålen. Se figuren under.

Skisse av situasjonen: tegn $BC=8$ cm, og en stråle fra $B$ som danner $60°$ med $BC$. Punktet $A$ må ligge på denne strålen. Fotpunktet for høyden fra $C$ ned på strålen ligger i avstand $6{,}93$ cm fra $C$, og dette er nærmeste punkt på strålen. Uansett hvor $A$ flyttes langs strålen, blir $AC$ minst $6{,}93$ cm, aldri 6 cm. (Se H23-oppg5-trekant-umulig.ggb for figur: stråle, høyde og sirkel r=6 som ikke når strålen. Se figuren under.)

Nei, ikke begge kan ha tegnet riktig. Det finnes ingen trekant med $\angle B=60°$, $BC=8$ cm og $AC=6$ cm samtidig, siden korteste mulige $AC$ i en slik trekant er ca. $6{,}93\text{ cm}$, som er lengre enn de oppgitte 6 cm. Minst én av dem, sannsynligvis begge, har derfor målt eller tegnet minst én av lengdene eller vinkelen unøyaktig, det er derfor trekantene deres ser forskjellige ut.

Merknad om trykkfeil: Sensorveiledningen opplyser at det var en trykkfeil i denne oppgaven — vinkelen skulle vært $\angle B=30°$, ikke $60°$. Alle kandidater fikk automatisk 2 poeng på oppgaven som følge av dette. Med den tiltenkte vinkelen $30°$ gir samme konstruksjon i GeoGebra en korteste avstand $h=4$ cm. Det er mindre enn $AC=6$ cm, og $AC<BC=8$ cm — da finnes det to ulike trekanter som oppfyller kravene (det tvetydige SSA-tilfellet), og både Trym og Torgeir kan ha rett samtidig. Det er dette tvetydige tilfellet oppgaven egentlig var ment å illustrere. Resonnementet ovenfor med den trykte vinkelen $60°$ er matematisk korrekt for de oppgitte tallene, men altså basert på en feil i oppgaveteksten.

Oppgave 6

Datamaterialet viser antall helsefagarbeidere i Norge 2015–2022, fordelt på menn og kvinner.

Totalt antall og kjønnsfordeling per år:

Formel (kvinneandel): $\text{kvinneandel} = \frac{\text{antall kvinner}}{\text{antall menn}+\text{antall kvinner}}\cdot100\,\%$

Vekst fra 2015 til 2022:

Formel (vekstfaktor): $\text{vekstfaktor} = \frac{\text{ny verdi}}{\text{gammel verdi}}$

Menn, ny verdi er 2022-tallet (7 317), gammel verdi er 2015-tallet (2 232):

$$\text{vekstfaktor}_{\text{menn}} = \frac{7\,317}{2\,232} \approx \underline{3{,}28}$$

Dette tilsvarer en økning på ca. $228\,\%$.

Kvinner, ny verdi er 40 472, gammel verdi er 17 493:

$$\text{vekstfaktor}_{\text{kvinner}} = \frac{40\,472}{17\,493} \approx \underline{2{,}31}$$

Dette tilsvarer en økning på ca. $131\,\%$.

Sammenligning: antall menn i yrket har vokst mye raskere enn antall kvinner i perioden, vekstfaktoren for menn (3,28) er nesten halvannen gang så høy som for kvinner (2,31). Likevel er kvinner fortsatt klart i flertall gjennom hele perioden. Kvinneandelen har sunket jevnt fra 88,7 % i 2015 til 84,7 % i 2022, en nedgang på 4 prosentpoeng, noe som direkte følger av at mannsandelen har vokst raskere enn kvinneandelen.

Presentasjonen viser at antall helsefagarbeidere av begge kjønn har økt kraftig fra 2015 til 2022, sterkest for menn (vekstfaktor 3,28) sammenlignet med kvinner (vekstfaktor 2,31). Kvinner utgjør likevel fortsatt et klart flertall i yrket, selv om kvinneandelen har sunket noe, fra 88,7 % til 84,7 %, i perioden.

Oppgave 7

a)

Det største kvadratet har sidekant $s_1=10$ cm. Hvert neste kvadrat har en sidekant som er $10\,\%$ kortere enn det forrige, altså en vekstfaktor på $0{,}90$:

$$s_1 = 10\text{ cm}$$

$$s_2 = 10\cdot0{,}90 = 9\text{ cm}$$

$$s_3 = 9\cdot0{,}90 = 8{,}1\text{ cm}$$

Formel (omkrets av kvadrat): $O=4\cdot s$

$$O_1 = 4\cdot10 = 40\text{ cm}$$

$$O_2 = 4\cdot9 = 36\text{ cm}$$

$$O_3 = 4\cdot8{,}1 = 32{,}4\text{ cm}$$

Samlet omkrets for de tre første kvadratene:

$$O_1+O_2+O_3 = 40+36+32{,}4 = \underline{108{,}4\text{ cm}}$$

Dette stemmer med det oppgaven skulle vise, samlet omkrets av de tre første kvadratene er 108,4 cm.

b)

Sidekantene danner en geometrisk følge med startverdi $s=10$ og vekstfaktor $0{,}90$, så omkretsene danner også en geometrisk følge med startverdi $O_1=40$ og samme vekstfaktor. Et program som summerer omkretsen til svært mange kvadrater kan skrives slik (pseudokode):

# startverdier
s = 10              # sidekant i det største kvadratet (cm)
vekstfaktor = 0.90  # hver sidekant er 90 % av forrige
antall = 1000000    # svært mange kvadrater
sum_omkrets = 0     # summen starter på 0

# gjenta for hvert kvadrat
for i fra 1 til antall:
    omkrets = 4 * s                         # omkretsen til dette kvadratet
    sum_omkrets = sum_omkrets + omkrets     # legg omkretsen til summen
    s = s * vekstfaktor                     # neste kvadrat har kortere sidekant

# vis resultatet
skriv ut sum_omkrets

Kjøres programmet med disse verdiene, konvergerer summen mot $400\text{ cm}$ (se utledning i c) og d)), siden sidekanten, og dermed omkretsen til hvert nye kvadrat, blir stadig mindre og bidraget til summen etter hvert blir neglisjerbart.

c)

Undersøker sammenhengen mellom sidekanten $s$ i det største kvadratet og samlet omkrets $T$ for hele (uendelige) serien, med $10\,\%$ reduksjon for hvert kvadrat som i a) og b). Kjører programmet fra b) for flere ulike startverdier av $s$:

Formel (stigningstall): $a = \frac{\Delta T}{\Delta s} = \frac{T_2-T_1}{s_2-s_1} = \frac{800-400}{20-10} = \underline{40}$

Sammenhengen er lineær og går gjennom origo: $T=40s$. Dobles $s$, dobles $T$, samlet omkrets er altså direkte proporsjonal med sidekanten i det største kvadratet, når reduksjonen mellom hvert kvadrat holdes fast på $10\,\%$.

d)

Ole påstår at $T=\left(\frac{4\cdot s}{p}\right)\cdot100$, der $s$ er sidekanten i det største kvadratet og $p$ er hvor mange prosent kortere hvert neste kvadrat er.

Omkretsene $O_1, O_2, O_3,\dots$ danner en geometrisk rekke med startverdi $O_1=4s$ og vekstfaktor $k=1-\frac{p}{100}$ (sidekanten reduseres med $p\,\%$ for hvert ledd).

Formel (sum av uendelig geometrisk rekke): $T = \frac{O_1}{1-k}$, gyldig når $0<k<1$

Setter inn $O_1=4s$ og $k=1-\frac{p}{100}$:

$$T = \frac{4s}{1-\left(1-\frac{p}{100}\right)} = \frac{4s}{\frac{p}{100}} = \frac{4s\cdot100}{p} = \left(\frac{4s}{p}\right)\cdot100$$

Dette er nøyaktig Oles formel. Kontroll med tallene fra a)–c), $s=10$, $p=10$:

$$T = \left(\frac{4\cdot10}{10}\right)\cdot100 = 4\cdot100 = 400\text{ cm}$$

som stemmer med tabellen i c).

Ja, Oles sammenheng $T=\left(\frac{4s}{p}\right)\cdot100$ stemmer. Den følger av formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke, og er gyldig så lenge $0<p<100$, altså at hvert nye kvadrat faktisk er mindre enn det forrige, men ikke krymper til null eller vokser.

Oppgave 8

Norges klimagassutslipp var 51,3 mill. tonn CO2-ekvivalenter i 1990 og 48,9 mill. tonn i 2022. Målet er 55 % reduksjon innen 2030, sammenlignet med 1990.

a)

Formel (mål for 2030): $\text{mål}_{2030} = \text{utslipp}_{1990}\cdot(1-0{,}55)$

$$\text{mål}_{2030} = 51{,}3\cdot0{,}45 = \underline{23{,}085}\text{ mill. tonn}$$

Arne antar en fast årlig prosentvis reduksjon fra 2022-nivået. La $x$ være antall år etter 2022, og la $U(x)$ være utslippet i mill. tonn CO2-ekvivalenter $x$ år etter 2022:

$$U(x) = 48{,}9\cdot a^x$$

der $a$ er den årlige vekstfaktoren. År 2030 tilsvarer $x=2030-2022=8$. Bestemmer $a$ ved å kreve at modellen treffer målet i a), $U(8)=23{,}085$:

$$48{,}9\cdot a^8 = 23{,}085$$

$$a^8 = \frac{23{,}085}{48{,}9} \approx 0{,}4720$$

$$a = 0{,}4720^{\frac{1}{8}} \approx \underline{0{,}910}$$

Modellen for Norges klimagassutslipp $x$ år etter 2022, forutsatt en fast årlig reduksjon som treffer 55 %-målet i 2030, er $U(x)=48{,}9\cdot0{,}910^{x}$ (mill. tonn CO2-ekvivalenter). Vekstfaktoren $0{,}910$ svarer til en årlig reduksjon på ca. $9{,}0\,\%$.

b)

Norges langsiktige mål er 90–95 % reduksjon innen 2050, sammenlignet med 1990.

Formel (mål-intervall for 2050): $\text{mål}_{2050} = \text{utslipp}_{1990}\cdot(1-\text{reduksjon})$

$$\text{mål}_{2050,\ 90\,\%} = 51{,}3\cdot0{,}10 = 5{,}13\text{ mill. tonn}$$

$$\text{mål}_{2050,\ 95\,\%} = 51{,}3\cdot0{,}05 = 2{,}565\text{ mill. tonn}$$

Målet for 2050 er altså et utslipp mellom 2,565 og 5,13 mill. tonn.

Setter $x=2050-2022=28$ inn i modellen fra a):

$$U(28) = 48{,}9\cdot0{,}910^{28} \approx \underline{3{,}49}\text{ mill. tonn}$$

Siden $2{,}565 < 3{,}49 < 5{,}13$, ligger modellens verdi for 2050 innenfor mål-intervallet. Regnet fra 1990-nivået tilsvarer dette en reduksjon på:

$$\frac{51{,}3-3{,}49}{51{,}3}\cdot100\,\% \approx 93{,}2\,\%$$

Arnes modell, en fast årlig reduksjon på ca. 9,0 % fra 2022-nivået, treffer ikke bare 2030-målet, men gir også et utslipp i 2050 (ca. 3,49 mill. tonn, en reduksjon på ca. 93,2 % fra 1990) som ligger innenfor Norges langsiktige mål om 90–95 % reduksjon innen 2050. Modellen er likevel bare én av mange mulige antakelser, det er ikke gitt at utslippsreduksjonen i virkeligheten vil følge en jevn, fast prosentvis nedgang år for år.

© 2026 Ruben S. Johanssen, RubenMatte. Kun til privat bruk og skal ikke deles, publiseres eller selges videre.