Slik blir del 2 når du skal regne for hånd

Mye fungerer som før

Først det som ikke endres. En stor del av del 2 i 1P og 2P løses allerede i dag uten digitale verktøy: prosentregning, vekstfaktor, forskjellen på prosentpoeng og prosentvis endring, likningssystemer løst med innsetting, enhetsomregning, formlikhet og volum. Slike oppgaver regner du nøyaktig som før.

Det gjelder oppgavene der et program har gjort en del av jobben for deg: tegnet grafen, løst likningen, funnet modellen eller fylt ut tabellen. Endringen rammer 1P og 2P forskjellig.

1P og 2P mister to forskjellige ting

1P: GeoGebra og modellering

I 1P er det digitale verktøyet nesten alltid GeoGebra. Det brukes til å finne en modell fra en tabell med målinger (regresjon), til å finne nullpunkter og skjæringspunkter, og til å finne toppunktet eller bunnpunktet på en kurve.

Noe av dette kan ikke gjøres for hånd i 1P. Regresjon på fem til åtte målinger er ikke noe man regner med penn og papir, og toppunktet på en kurve som ikke er en andregradsfunksjon, har ingen eksakt håndmetode i 1P. For andregradsfunksjoner hjelper symmetrien, se ferdighet 5. Disse oppgavetypene kan ikke gis slik de ser ut i dag. De må skrives om, og hvordan vet vi ikke før eksempeloppgavene kommer.

2P: regneark, tabeller og statistikk

I 2P handler det digitale arbeidet mest om tabeller, diagrammer og statistikk, oftest i regneark. Nesten ingenting av dette er umulig for hånd. Unntakene er lange nedbetalingsplaner og en og annen regresjonsoppgave. Men mye blir tyngre: tabellen fylles ut med kalkulator, diagrammet tegnes for hånd, og standardavviket regnes på kalkulatoren.

I tillegg er mange 2P-oppgaver regnet for hånd i løsningsforslagene, men løses i regneark av mange elever i dag: reallønn år for år, omregning med konsumprisindeks, gruppert gjennomsnitt. Er det sånn du jobber nå, kommer du til å merke endringen mer enn det kanskje ser ut som.

Hva det betyr for deg

1P-oppgaver må skrives om, 2P-oppgaver må trenes om.

Går du 1P, er det modelleringsoppgavene som er usikre. Men det finnes håndmetoder du trenger uansett hvordan de blir, og dem kan du øve på nå. Går du 2P, kan de fleste oppgavene vi har sett løses for hånd. Du må øve på arbeidsmåten, og det kan du begynne med i dag.

Hva som forsvinner, og hva du gjør i stedet

Fire ting et program gjør for deg på del 2 i dag, og hva som erstatter dem når du sitter med papir og kalkulator. Ferdighetene det krever, står i neste del.

Graftegning

I dag: Du tegner grafen i GeoGebra og leser av nullpunktet, skjæringspunktet eller toppunktet.

For hånd: Det kommer an på hva slags funksjon det er.

• Skal du finne toppunktet eller bunnpunktet, setter du opp en systematisk verditabell. Det gjelder andregradsfunksjoner, tredjegradsfunksjoner og uttrykk med x i nevneren. Se ferdighet 5.
• Skal du finne når en eksponentialfunksjon, a · b^x, når en bestemt verdi, prøver du deg fram med hele tall. Se ferdighet 2.
• For andregradsfunksjoner finnes også formelen x = −b / (2a). Den er ikke 1P/2P-pensum, og du finner den som et alternativ nederst i ferdighet 5.

Trenger du en skisse av grafen, lager du den fra en verditabell.

Likningsløsning i CAS

I dag: Du skriver likningen inn i CAS og får svaret.

For hånd: Lineære likninger og likningssystemer løser du som på del 1. En likning av typen a · b^x = c løser du ved å prøve deg fram, se ferdighet 2. Når du skal finne en årlig vekstfaktor fra en endring over flere år, bruker du n-te rot, se ferdighet 1.

Regresjon

I dag: Du legger målingene inn i GeoGebra og får en modell.

For hånd: Det går ikke. Regresjon på flere målinger er ikke noe man regner for hånd på dette nivået, så disse oppgavene må endres. Hvordan, vet vi først når eksempeloppgavene kommer.

To ting finnes allerede i eksamenssett fra de siste årene, løst uten verktøy, og dem kan du øve på uansett: å regne med en modell som står i oppgaveteksten, og å lage en eksponentiell modell fra to målinger. Det siste er n-te rot igjen.

Regneark og digitale tabeller

I dag: Du legger tallene inn i et regneark, lar formlene regne ut resten og lager diagrammet med noen klikk. Så tar du skjermbilde av regnearket og av formlene.

For hånd: Du setter opp tabellen på papir og regner hver rad på kalkulatoren. Jeg ville vist utregningen fullt ut for første rad, og skrevet hvilken regel resten av radene følger. Diagrammet tegner du for hånd med linjal. Standardavviket finner du i statistikkmodus på kalkulatoren.

Lange utregninger, som en nedbetalingsplan over mange terminer, er ikke rimelig å gjøre for hånd. Hvordan slike oppgaver blir, vet vi ikke ennå. Det du kan øve på, er å regne én termin riktig, se ferdighet 7.

Programmering er en egen sak, og den treffer 1P og 2P lite. Se programmering uten PC.

Ferdighetene du bør trene på, i prioritert rekkefølge

Rekkefølgen under er etter hvor mye hver ferdighet har veid på del 2 i 1P- og 2P-settene i gjennomgangen. Den sier hva som har betydd mest på eksamen de siste årene, ikke hva som kommer i 2027. Der det står 1P eller 2P, er det i det faget ferdigheten har dukket opp.

De generelle rådene mine står under hvordan jeg ville forberedt meg. Dette er den konkrete versjonen.

1. Potenstasten og n-te rot

Dette er den største enkeltferdigheten, og den er ikke vanskelig, bare utrent. En elev som i to år har skrevet 0.87^7 i GeoGebra, vet ikke nødvendigvis hvilken tast som gjør det samme på kalkulatoren, og enda mindre hvordan man taster 0,5^1/6.

Du trenger den begge veier:

• Framover: startverdi · vekstfaktor^{antall år}, for eksempel 12 000 · 1,04⁵.
• Bakover: hvilken årlig vekstfaktor gir en bestemt endring over flere år? Da tar du n-te rot av den samlede vekstfaktoren.

Et eksempel på den andre: et folketall går fra 12 000 til 15 000 på 6 år.

Samlet vekstfaktor: 15 000 / 12 000 = 1,25
Årlig vekstfaktor: 1,25^1/6 ≈ 1,0379
Folketallet har økt med omtrent 3,8 % per år.

Kontroller ved å gå framover igjen: 1,0379⁶ ≈ 1,25. Hvilke taster du bruker, varierer fra kalkulator til kalkulator. Det står på siden om kalkulatorbruk.

2. Prøv deg fram i stedet for å tegne grafen

Spørsmål av typen «når passerer verdien 1500?» løses i dag ofte ved å tegne grafen og legge inn en vannrett linje. Uten graftegner prøver du deg fram med hele tall og potenstasten.

800 · 1,06^x = 1500
800 · 1,06¹⁰ ≈ 1433
800 · 1,06¹¹ ≈ 1519

Etter 10 år er verdien under 1500, og etter 11 år er den over. Spør oppgaven etter hvor mange hele år det tar, er svaret 11 år. Vis utregningene, og skriv hvorfor de to verdiene gir svaret. Udirs eksamensveiledning sier at prøving kan være en mulig strategi i noen oppgaver. For full uttelling må du vise at du går systematisk fram, og argumentere for strategien.

3. 2P: statistikken flyttes fra regneark til kalkulator

Oppgaver med standardavvik og andre sentralmål og spredningsmål finnes i nesten alle 2P-settene i gjennomgangen, og i dag løses de i regneark eller GeoGebra. Jeg ville regnet med at de blir værende. Udir skriver at kalkulatoren bør kunne regne ut standardavvik.

Arbeidsmåten endrer seg. Små datasett, for eksempel femten små hele tall, går fint å regne med formelen på papir. Store datasett, som innbyggertall i millionklassen, gjør formelen urimelig tung, og da bruker du statistikkmodus på kalkulatoren.

Kalkulatoren gir deg to standardavvik. Det ene deler på antallet verdier, det andre på antallet minus én, og på skjermen heter de gjerne σ og s. Hvilket du skal bruke, og hvordan du finner dem på din kalkulator, står på siden om kalkulatorbruk.

4. 2P: tegne diagram for hånd

Presentasjonsoppgaven, der du skal vise et datasett i diagrammer, finnes i alle 2P-settene i gjennomgangen. I dag lages diagrammene i regneark. Uten PC tegner du dem for hånd.

Det som må trenes, er ikke selve tegningen, men valgene rundt den:

• hvilken diagramtype som passer til spørsmålet
• at begge aksene har tittel og enhet
• at skalaen er jevn, og at et stolpediagram starter på null
• at diagrammer du skal sammenligne, har samme skala på y-aksen, så forskjellene ikke ser større ut enn de er

Med regneark er det lett å lage fem diagrammer. For hånd tar hvert av dem tid, så det lønner seg å velge riktig først.

5. 1P: bruk verditabellen som metode

I flere av de nyeste 1P-settene skal du finne toppunktet eller bunnpunktet på en funksjon som ikke er en andregradsfunksjon. I dag gjøres det med Ekstremalpunkt i GeoGebra. For hånd er en systematisk verditabell den metoden 1P har.

Udirs eksamensveiledning sier i dag at prøving og feiling kan gi full uttelling, men bare hvis du forklarer strategien din og viser at du går systematisk fram. I praksis: velg et fornuftig intervall, regn med jevne steg, se hvor toppen ligger, og regn tettere der. Og skriv ned hvorfor.

Et eksempel. Du klipper like store kvadrater med side x cm ut av hjørnene på et kvadratisk ark med side 30 cm, og bretter opp kantene til en eske uten lokk. Volumet er V(x) = x · (30 − 2x)², og x må ligge mellom 0 og 15.

Størst verdi ved x = 5, så toppen ligger mellom 3 og 7. Så tettere rundt 5:

Volumet er størst når x er omtrent 5 cm, og da er det omtrent 2000 cm³.

Skriv svaret som et omtrentlig svar. Tabellen viser at toppen ligger mellom 4,5 og 5,5, ikke at den ligger nøyaktig på 5.

Er det en andregradsfunksjon, har verditabellen en snarvei: symmetrien. Finner du to x-verdier med samme y-verdi, ligger toppen eller bunnen nøyaktig midt mellom dem. Tegner du grafen for hånd fra tabellen, ser du symmetrien.

Et eksempel fra 1P høsten 2023: A(x) = 12x − 2x².

A(1) og A(5) er begge 10. Toppen ligger midt mellom x = 1 og x = 5, altså ved x = 3, og A(3) = 18.

6. Lese tallene ut av en figur du får

Noen oppgaver gir deg en ferdig graf, figur eller tabell i oppgaveheftet, og jobben er å lese den riktig og regne videre. Slike oppgaver krever ingen datamaskin i dag heller, og derfor er det den typen oppgave som tåler endringen best.

De kan likevel være krevende. Et eksempel er et histogram der høyden på søylene ikke er antall, men antall per enhet på x-aksen. Da må du gange høyden med klassebredden for å få antallet i hver klasse, før du kan regne ut noe som helst.

Med en graf er det samme vane: les av punkter som ligger nøyaktig på rutenettet, og regn videre fra dem.

7. 2P: rente og nedbetaling, én termin om gangen

Låneoppgaver finnes i de fleste 2P-settene i gjennomgangen. I dag settes hele nedbetalingsplanen opp i regneark. For hånd er det ikke rimelig å regne mange terminer, men én termin er enkel. For et annuitetslån, der terminbeløpet er likt hver gang:

Renter = restgjeld · rentesats per termin
Avdrag = terminbeløp − renter
Ny restgjeld = restgjeld − avdrag

Øv til du kan regne to–tre terminer uten å nøle, og se hvordan rentene synker og avdraget øker fra termin til termin.

Slik ser en håndskrevet besvarelse ut

Med PC har skjermbildet gjort mye av dokumentasjonen for deg. I dag skal du ta skjermbilde av regnearket og et nytt av formlene, og ved graftegning bør det gå fram hvilket uttrykk du har tastet inn. Uten PC faller alt det bort. Hvordan Udir skriver om dokumentasjonskravene for 2027, vet vi ikke ennå.

Det som ikke henger på datamaskinen, er grunnregelen i Udirs eksamensveiledning: du skal alltid vise eller forklare hvordan du kom fram til svaret, og ta med et rimelig omfang av mellomregninger. Uten PC er det utregningen din sensor har å gå etter.

Hva en god utregning inneholder

• Hva du regner ut, med ord: «Årlig vekstfaktor», «Antall år», «Volum».
• Uttrykket med tallene satt inn, før du regner det ut.
• Svaret med enhet, og en setning som svarer på det oppgaven spør om.
• Når du bruker en strategi, som en verditabell: hvorfor du valgte som du gjorde.

Det er ikke mer enn dette. Én linje per steg, og en kort forklaring der det ikke er opplagt hva du gjør.

Når svaret blir feil

Eksamensveiledningen som gjelder i dag, sier at følgefeil kan gi full uttelling. Har du regnet feil tidlig i en oppgave, men gjort resten riktig med det gale tallet, kan resten telle fullt. Men gjør feilen oppgaven enklere, eller gir den et svar som ikke kan stemme og som du burde ha kommentert, teller det med i vurderingen.

Det betyr to ting for deg. Står bare sluttsvaret der, og det er feil, har sensor ingenting annet å vurdere. Og får du et svar du ser at ikke kan stemme, så skriv det, gjerne med en setning om hvorfor.

Det praktiske

Slik reglene for håndskrevne svar er i dag: skriv med blå eller svart penn, figurer og skisser kan føres med blyant, og arkene skal nummereres.

Vil du se full mellomregning på tidligere eksamensoppgaver, finner du det i løsningsforslagene mine.

Fallgruver når du er vant til GeoGebra og CAS

Programmet har tatt seg av en del ting du kanskje ikke har tenkt over. Dette er det jeg ville passet på når du skal gjøre dem selv.

• Bare svaret står igjen. I GeoGebra viste skjermbildet hva du hadde gjort. På papir må du skrive det selv, ellers har sensor bare svaret å gå etter.
• Å runde av for tidlig. GeoGebra regner videre med alle desimalene. Når du skriver av et mellomsvar, er det lett å runde det, og i vekst over mange år slår det hardt ut: 12 000 · 1,0379²⁰ ≈ 25 250, mens 12 000 · 1,04²⁰ ≈ 26 290. Behold minst fire desimaler i vekstfaktorer, og rund av bare i svaret.
• Parentes rundt eksponenten. Skriv 0,5^(1/6) med parentes. Uten den kan kalkulatoren, avhengig av modell, regne 0,5¹ delt på 6. Sjekk: sjetteroten av 0,5 er omtrent 0,89. Får du omtrent 0,083, har kalkulatoren regnet noe annet enn du mente.
• Logaritme uten å dele først. Bruker du logaritme på 800 · 1,06^x = 1500, må du dele på 800 før du tar logaritmen. Regner du lg 1500 / lg (800 · 1,06), får du omtrent 1,08 i stedet for 10,8.
• Et svar fra verditabellen skrevet som eksakt. En tabell viser at toppen ligger i et intervall. Skriv «omtrent», og gjerne hvilket intervall. Unntaket er en andregradsfunksjon der to x-verdier gir samme y. Da ligger toppen nøyaktig midt mellom dem.
• Feil standardavvik. Kalkulatoren gir to. Hvilket du skal bruke, står på siden om kalkulatorbruk.
• Et svar som ikke kan stemme. Med et program får du sjelden et svar som er tusen ganger for stort. Når du regner selv, skjer det. Et raskt overslag før du begynner, er den billigste forsikringen du har, se hvordan jeg ville forberedt meg.

Gjennomgåtte eksempeloppgaver

Det jeg først og fremst ser etter, er hvordan Udir erstatter regresjonsoppgavene i 1P og regnearkoppgavene i 2P. Til da er alt om hvordan oppgavene blir seende ut, gjetning, og det lar jeg ligge.

Hvem endringen gjelder, hva du får ha med og tidslinja finner du på hovedsiden om eksamen 2027.

Flere guider om eksamen 2027

• Er kalkulatoren din lov? Åtte ting du kan sjekke selv, og hvorfor du bør vente med å kjøpe
• Kalkulatorbruk: tastesekvenser for standardavvik, potens og n-te rot på vanlige modeller
• Programmering uten PC: hva som endres for kodeoppgavene i 1P og 2P