Løsningsforslag — Eksamen 1P Vår 2026 (MAT1019)

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

$$0{,}80\cdot60 = \underline{48}$$

Bonden skal slakte $48$ sauer.

Oppgave 2 (1 poeng)

Familien har brukt 120 m³ vann på et år. Siden $1\text{ m}^3 = 1000\text{ L}$:

$$120\text{ m}^3 = 120\,000\text{ L}$$

Formel (gjennomsnitt): $\text{gjennomsnitt} = \frac{\text{total sum}}{\text{antall}}$

Total sum er vannforbruket for hele året (120 000 L), antall er antall måneder i et år (12):

$$\frac{120\,000\text{ L}}{12} = \underline{10\,000\text{ L}}$$

Familien har i gjennomsnitt brukt $10\,000\text{ liter}$ vann per måned.

Oppgave 3 (1 poeng)

Skriver tallene på standardform:

$$250\,000\,000 = 2{,}5\cdot10^8 \qquad 0{,}000\,008 = 8\cdot10^{-6}$$

$$2{,}5\cdot10^8 \cdot 8\cdot10^{-6} = (2{,}5\cdot8)\cdot10^{8-6}$$

$$20\cdot10^2 = \underline{2000}$$

Oppgave 4 (1 poeng)

Formel (omvendt proporsjonalitet): $\text{antall}\cdot\text{pris per person} = k$, der $k$ er en konstant.

Fra første kolonne (10 personer, 600 kr per person):

$$k = 10\cdot600 = \underline{6000}$$

For 20 personer:

$$\text{pris per person} = \frac{6000}{20} = \underline{300}\text{ kr}$$

For 100 kr per person:

$$\text{antall personer} = \frac{6000}{100} = \underline{60}$$

Oppgave 5 (2 poeng)

Regner ut hvert uttrykk:

$$\sqrt{81} = 9 \qquad \sqrt{10^6} = 1000$$

$$3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 \qquad 10^{-1} = 0{,}1$$

$$\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \qquad 10^2 = 100$$

$$2\cdot2^4 = 2\cdot16 = 32$$

I stigende rekkefølge:

$$10^{-1} < 3^{-2} < \frac{1}{2^3}$$

$$\sqrt{81} < 2\cdot2^4$$

$$10^2 < \sqrt{10^6}$$

Hele rekken i stigende rekkefølge, første halvdel og andre halvdel:

Oppgave 6 (1 poeng)

Formel (vekstfaktor): en økning på 10 % svarer til vekstfaktor 1,10, en reduksjon på 10 % svarer til vekstfaktor 0,90.

$$1{,}10\cdot0{,}90 = \underline{0{,}99}$$

Den samlede vekstfaktoren er 0,99, som er mindre enn 1. Dette betyr at de to prisendringene til sammen gir en nedgang, ikke en uendret pris, fordi den andre reduksjonen på 10 % regnes av det nye, høyere beløpet og dermed trekker fra et større kronebeløp enn det den første økningen la til.

Varen koster nå mindre enn den gjorde før de to prisendringene (ca. 1 % mindre).

Oppgave 7 (2 poeng)

Formel (vekstfaktor): en reduksjon på $p\,\%$ svarer til vekstfaktor $1-\frac{p}{100}$.

Det første året faller verdien med 20 %, vekstfaktor $1-0{,}20=0{,}80$. De neste fem årene faller verdien med 6 % per år, vekstfaktor $1-0{,}06=0{,}94$ hvert av disse fem årene.

$$V(6) = \underline{850\,000\cdot0{,}80\cdot0{,}94^5}\text{ kr}$$

Regnes uttrykket ut, gir det $V(6)\approx 499\,055$ kr.

Oppgave 8 (2 poeng)

Formel (volum av rektangulær plate): $V = \text{lengde}\cdot\text{bredde}\cdot\text{tykkelse}$

Omgjør alle mål til centimeter: $1000\text{ mm}=100\text{ cm}$, $500\text{ mm}=50\text{ cm}$, $6\text{ mm}=0{,}6\text{ cm}$.

$$V = 100\cdot50\cdot0{,}6 = \underline{3000}\text{ cm}^3$$

Formel (masse): $\text{masse} = \text{massetetthet}\cdot\text{volum}$

$$\text{masse} = 8\text{ g/cm}^3\cdot3000\text{ cm}^3 = 24\,000\text{ g}$$

Stålplaten veier $24\,000\text{ g} = 24\text{ kg}$.

Oppgave 9 (4 poeng)

a) Formel (lineær modell): $\text{total pris} = \text{årsavgift} + \text{pris per passering}\cdot\text{antall passeringer}$

Petter passerte 40 ganger og betalte 3200 kr, Ola passerte 100 ganger og betalte 6200 kr. Differansen mellom dem skyldes kun passeringene:

$$\text{pris per passering} = \frac{6200-3200}{100-40} = \frac{3000}{60} = \underline{50}\text{ kr}$$

Setter inn Petters tall for å finne årsavgiften:

$$3200 = \text{årsavgift} + 50\cdot40$$

$$\text{årsavgift} = 3200-2000 = \underline{1200}\text{ kr}$$

Hver hytteeier betaler $1200\text{ kr}$ i årsavgift, og $50\text{ kr}$ per bompassering.

b) Lar $x$ være antall bompasseringer i løpet av et år, og $P(x)$ total pris i kroner.

c) Ine betalte 5200 kr til sammen. Setter inn i modellen fra b):

$$5200 = 50x + 1200$$ $$4000 = 50x$$ $$x = \underline{80}$$

Ine passerte bommen $80$ ganger.

Oppgave 10 (2 poeng)

a) Mønsteret Susanne har funnet er at tall nummer $k$ i følgen (med $k=1,2,3,\ldots$) lages ved $(k-1)\cdot k+1$: tall nummer 1 er $0\cdot1+1$, tall nummer 2 er $1\cdot2+1$, tall nummer 3 er $2\cdot3+1$, og så videre. Tall nummer 8 følger da mønsteret med $k=8$:

$$(8-1)\cdot8+1 = 7\cdot8+1 = \underline{57}$$

b) Ut fra samme mønster er tall nummer $n$ i følgen:

Uttrykket kan også skrives ut: $a(n) = n^2-n+1$.

Oppgave 11 (3 poeng)

a) Setter $x=0$ i kostnadsfunksjonen:

$$K(0) = 0^2+b\cdot0+20\,000 = \underline{20\,000}\text{ kr}$$

Dette er de faste kostnadene, altså kostnadene bedriften har selv om den produserer null enheter av varen.

b) Det koster 30 000 kroner å produsere 50 enheter, altså $K(50)=30\,000$:

$$30\,000 = 50^2+b\cdot50+20\,000$$ $$30\,000 = 2500+50b+20\,000$$ $$30\,000-2500-20\,000 = 50b$$ $$7500 = 50b$$ $$b = \underline{150}$$

Oppgave 12 (2 poeng)

$$L = \frac{p}{287\cdot T}$$

Påstand 1: Når temperaturen $T$ holdes konstant, kan formelen skrives $L = \frac{1}{287\cdot T}\cdot p$, altså $L=k\cdot p$ med $k=\frac{1}{287T}$ som en konstant. Dette er nettopp definisjonen på proporsjonale størrelser: $L$ er alltid det samme faste tallet ganger $p$.

Påstand 1 er sann: når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.

Påstand 2: I motsetning til påstand 1 sier ikke denne påstanden noe om at trykket $p$ holdes konstant. Lufttettheten $L$ avhenger av både $p$ og $T$, ikke bare av $T$ alene. Hvis $p$ endrer seg samtidig med $T$, vil ikke $L\cdot T$ nødvendigvis holde seg fast, og da er ikke $L$ og $T$ omvendt proporsjonale i vanlig forstand. Skal $L$ og $T$ være omvendt proporsjonale, må $p$ først forutsettes konstant, og det er ikke oppgitt i påstanden.

Påstand 2 er usann: lufttetthet og temperatur er bare omvendt proporsjonale dersom trykket samtidig holdes konstant, noe påstanden ikke forutsetter.

Oppgave 13 (4 poeng)

a) Modellen $f(x)=20\,000-300x$ er en lineær modell: den antar at fuglebestanden minker med et fast antall individer, 300, hvert år.

Modellen $g(x)=20\,000\cdot0{,}984^x$ er en eksponentiell modell: den antar at fuglebestanden minker med en fast prosentandel hvert år. Vekstfaktoren 0,984 svarer til en årlig nedgang på 1,6 %.

b) Programmet lar $x$ øke ett år av gangen, så lenge $f(x)\geq g(x)$, og stopper første gang $g(x)$ blir større enn $f(x)$. Sofie ønsker altså å finne ut etter hvor mange år den eksponentielle modellen $g$ begynner å anslå en større bestand enn den lineære modellen $f$, altså når den lineære nedgangen har blitt raskere enn den eksponentielle.

Verdiene som skrives ut viser at dette skjer etter 10 år ($x=10$): da anslår den lineære modellen en bestand på 17 000 individer ($f(10)$), mens den eksponentielle modellen anslår ca. 17 020,8 individer ($g(10)$), altså akkurat forbi punktet der de to modellene bytter om på hvilken som anslår størst bestand.

---

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng)

$$U(x) = \frac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50, \qquad 30<x<110$$

a)

$$U(50) = \frac{5400}{50}+0{,}0074\cdot50^2+50$$

$$U(50) = 108+18{,}5+50 = \underline{176{,}5}\text{ g CO}_2\text{ per km}$$

b) Bruker GeoGebra: skriver inn $U(x)=5400/x+0{,}0074x^2+50$ i Grafikk-feltet, og finner bunnpunktet på grafen i det aktuelle intervallet med kommandoen Ekstremalpunkt(U, 30, 110).

GeoGebra gir minimumspunktet $(71{,}46, 163{,}36)$.

Farten som gir minst utslipp er ca. $71{,}5\text{ km/h}$. Ved denne farten slipper bilen ut ca. $163{,}4\text{ g CO}_2$ per kilometer.

c) Ved 90 km/h i 20 minutter er strekningen:

$$\text{strekning} = 90\text{ km/h}\cdot\frac{20}{60}\text{ h} = \underline{30}\text{ km}$$

Utslippet per kilometer ved 90 km/h:

$$U(90) = \frac{5400}{90}+0{,}0074\cdot90^2+50$$

$$U(90) = 60+59{,}94+50 = \underline{169{,}94}\text{ g per km}$$

Totalt utslipp for strekningen:

$$169{,}94\text{ g/km}\cdot30\text{ km} = \underline{5098\text{ g}}$$

Fru Hansen slipper ut ca. $5098\text{ g CO}_2$ i løpet av de 20 minuttene.

Oppgave 2 (2 poeng)

a) Styringsrenten går fra 4,25 % til 4 %:

$$4{,}25\,\%-4\,\% = \underline{0{,}25}\text{ prosentpoeng}$$

b) Formel (prosentvis endring): $\text{prosentvis endring} = \frac{\text{endring}}{\text{utgangsverdi}}\cdot100\,\%$

Endringen er 0,25 prosentpoeng, utgangsverdien er den opprinnelige styringsrenten på 4,25 %:

$$\frac{0{,}25}{4{,}25}\cdot100\,\% \approx \underline{5{,}9\,\%}$$

Oppgave 3 (6 poeng)

Lar $x$ være antall år etter 2013. Vipebestanden var 9000 par i 2013 ($x=0$) og 2500 par i 2022 ($x=9$).

a) Tors modell er lineær: $f(x)=ax+b$.

Formel (stigningstall): $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$$a = \frac{2500-9000}{9-0} = \frac{-6500}{9} \approx \underline{-722{,}2}$$

Siden $f(0)=9000$, er $b=9000$:

Modellen forteller at vipebestanden ifølge Tor minker med et fast antall par, ca. 722 par, hvert år etter 2013, og at bestanden ifølge modellen vil nå null rundt $x\approx12{,}5$, altså omkring 2025.

b) Egils modell er eksponentiell: $g(x)=9000\cdot a^x$.

$$9000\cdot a^9 = 2500$$ $$a^9 = \frac{2500}{9000}$$ $$a = \left(\frac{2500}{9000}\right)^{1/9} \approx \underline{0{,}8673}$$

Modellen forteller at vipebestanden ifølge Egil minker med en fast prosentandel hvert år, ca. 13,3 %, og at bestanden aldri når helt ned til null, men fortsetter å minke mot null uten å nå det.

c) Grafen til $q$ flater ut mot en vannrett asymptote ved $y=2000$, i motsetning til $p$, som fortsetter mot null. Egil har altså lagt til grunn at nedgangen i vipebestanden ikke fortsetter helt til bestanden dør ut, men at den flater ut og stabiliserer seg på et minste nivå, her 2000 par, som følge av at hekkeområdene blir vernet. Praktisk sett antar Egil at vernearbeidet vil bremse og til slutt stanse nedgangen, ikke reversere den.

Finner først $p(x)$, den opprinnelige eksponentielle modellen, ut fra punktene $(0,7000)$ og $(9,500)$:

$$7000\cdot a_p^9 = 500 \implies a_p = \left(\frac{500}{7000}\right)^{1/9} \approx \underline{0{,}7459}$$

For å komme fra $p$ til $q$ har Egil lagt en konstant, den nye minstebestanden på 2000 par, til den avtagende eksponentielle delen, slik at grafen flater ut mot $y=2000$ i stedet for mot $y=0$:

$$q(x) = 2000+7000\cdot0{,}7459^x$$

Kontroll: $q(0)=2000+7000=9000$ og $q(9)=2000+7000\cdot0{,}7459^9\approx2000+500=2500$, som stemmer med punktene i grafen.

Oppgave 4 (4 poeng)

a) Skal varme opp 100 L vann fra 10 °C til 70 °C, en temperaturøkning på $70-10=60$ °C. Det kreves 4184 J for å varme 1 L vann 1 grad:

$$E = 100 ext{ L}\cdot4184\,\frac{\text{J}}{\text{L}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot60\,{}^\circ\text{C}$$

$$E = 25\,104\,000 ext{ J}$$

som stemmer med det oppgaven skal vises.

b) Setter $T=40$ °C inn i den oppgitte formelen $V=\frac{T-10}{4}$:

$$V = \frac{40-10}{4} = \underline{7{,}5}\,\frac{\text{L}}{\text{min}}$$

Martin dusjer i 10 minutter:

$$7{,}5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot10\text{ min} = \underline{75\text{ L}}$$

c) De 75 literne kommer fra varmtvannstanken og varmes fra 10 °C til 70 °C, samme temperaturøkning som i a), 60 °C:

$$E = 75 ext{ L}\cdot4184\,\frac{\text{J}}{\text{L}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot60\,{}^\circ\text{C}$$

$$E = \underline{18\,828\,000\text{ J}} = 1{,}8828\cdot10^7\text{ J}$$

d) Omgjør energien til kWh:

$$\frac{18\,828\,000\text{ J}}{3{,}6\cdot10^6\,\frac{\text{J}}{\text{kWh}}} = \underline{5{,}23}\text{ kWh}$$

Formel (kostnad): $\text{kostnad} = \text{strømpris per kWh}\cdot\text{antall kWh}$

$$5{,}23\text{ kWh}\cdot134\,\frac{\text{øre}}{\text{kWh}} \approx 700{,}8\text{ øre} = \underline{7{,}01\text{ kr}}$$

Dusjen på 10 minutter kostet Martin ca. $7\text{ kr}$ denne morgenen.

© 2026 Ruben S. Johanssen, RubenMatte. Kun til privat bruk og skal ikke deles, publiseres eller selges videre.