Løsningsforslag – Eksamen 10. trinn, Vår 2024 (MAT0015)

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1

La $v$ være prisen på en voksenbillett og $b$ være prisen på en barnebillett.

Ut fra oppgaveteksten kan vi sette opp et likningssystem:

Likning I: $2v + b = 400$ Likning II: $v + b = 260$

Vi bruker addisjonsmetoden. Trekker Likning II fra Likning I:

$$(2v + b) - (v + b) = 400 - 260$$ $$v = 140$$

Setter $v = 140$ inn i Likning II:

$$140 + b = 260$$ $$b = 120$$

Kontroll i Likning I: $2 \cdot 140 + 120 = 280 + 120 = 400$ kr, som stemmer.

En barnebillett koster $120 \text{ kr}$.

Oppgave 2

a) Figur 1 og Figur 3

Tabellen viser at Figur 2 er tegnet som et rutenett med 2 rader og 3 kolonner (6 ruter), og Figur 4 som et rutenett med 4 rader og 5 kolonner (20 ruter). Mønsteret er at figur $n$ har $n$ rader og $n+1$ kolonner.

Ut fra dette mønsteret skal:

• Figur 1 tegnes som et rutenett med 1 rad og 2 kolonner (2 ruter).
• Figur 3 tegnes som et rutenett med 3 rader og 4 kolonner (12 ruter).

b) Formel for antall ruter i Figur n

Vi ser at antall rader i figur $n$ er $n$, og antall kolonner er $n+1$. Antall ruter i en figur er antall rader multiplisert med antall kolonner:

Formel (rektangel av ruter): antall ruter = antall rader $\cdot$ antall kolonner

Antall rader er $n$, antall kolonner er $n+1$:

$$A(n) = n \cdot (n+1) = n^2 + n$$

Vi kontrollerer formelen mot de oppgitte verdiene:

• $A(1) = 1 \cdot 2 = 2$ (stemmer med Figur 1)
• $A(2) = 2 \cdot 3 = 6$ (stemmer med Figur 2)
• $A(3) = 3 \cdot 4 = 12$ (stemmer med Figur 3)
• $A(4) = 4 \cdot 5 = 20$ (stemmer med Figur 4)

Formelen for antall ruter i Figur $n$ er $A(n) = n(n+1) = n^2 + n$.

Oppgave 3

Vi vurderer hver påstand ved å lese av tallene i tabellen/diagrammet.

«Lese bøker er det ungdommer bruker mest tid på.» Tabellen viser at 64 % av ungdommene svarer «ikke noe tid» på lesing av bøker, den høyeste andelen «ikke noe tid» av alle kategoriene. Det er å være på sosiale medier ungdommer bruker mest tid på (kun 3 % svarer «ikke noe tid», og 37 % bruker mer enn 3 timer daglig). Påstanden er usann.

«Det er flere som spiller dataspill/TV-spill enn som ser på TV.» Andelen som bruker noe tid i det hele tatt på en aktivitet, finner vi ved å trekke andelen «ikke noe tid» fra 100 %.

Dataspill/TV-spill: $100\,\% - 40\,\% = 60\,\%$ bruker noe tid på dette. Se på TV: $100\,\% - 29\,\% = 71\,\%$ bruker noe tid på dette.

Siden $71\,\% > 60\,\%$, er det flere som ser på TV enn som spiller dataspill/TV-spill. Påstanden er usann.

«Nesten tre firedeler av ungdommene spiller på telefon/nettbrett.» Andelen som svarer «ikke noe tid» på telefon/nettbrett-spilling er 28 %. Andelen som bruker noe tid på dette er da:

$$100\,\% - 28\,\% = 72\,\%$$

Tre firedeler tilsvarer 75 %, og 72 % ligger nære denne verdien. Påstanden er sann.

«Omtrent 40 % av ungdommene bruker mindre enn en time daglig på sosiale medier.» «Mindre enn en time» dekker kategoriene «ikke noe tid», «under 30 minutter» og «30 minutter–1 time»:

$$3\,\% + 9\,\% + 12\,\% = 24\,\%$$

24 % er ikke i nærheten av 40 %. Påstanden er usann.

Oppgave 4

Formel (stigningstall): $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Vi leser av to punkter fra grafen: det første punktet er $(x_1, y_1) = (10, 145)$ (alder 10 år, høyde 145 cm) og det siste punktet er $(x_2, y_2) = (16, 169)$ (alder 16 år, høyde 169 cm).

$$a = \dfrac{169 - 145}{16 - 10} = \dfrac{24}{6} = 4$$

Stigningstallet er $4 \text{ cm/år}$: Kristin vokste i gjennomsnitt 4 cm per år i denne perioden.

Oppgave 5

Ruben regner ut differansen mellom opprinnelig og ny pris riktig:

$$229{,}00 \text{ kr} - 206{,}10 \text{ kr} = 22{,}90 \text{ kr}$$

Men når avslaget skal regnes om til prosent, skal differansen deles på den opprinnelige prisen, ikke den nye (tilbuds-)prisen. Ruben deler på 206,10 kr, som er feil.

Formel (prosentvis endring): prosentvis endring = endring / opprinnelig verdi $\cdot\ 100\,\%$

Endringen er 22,90 kr, og opprinnelig verdi er 229,00 kr:

$$\dfrac{22{,}90}{229{,}00} \cdot 100\,\% = 10\,\%$$

Riktig avslag er altså 10 %, ikke 11 % som Ruben kom fram til.

Ruben sin løsning er feil: han deler differansen på feil grunnlag (den nye prisen i stedet for den opprinnelige), og det riktige avslaget er 10 %.

Oppgave 6

Oppgaven ber om at jeg selv foreslår mål på matboksen. Jeg antar at matboksen skal ha samme grunnform som eksemplene på bildet, et rett prisme med rektangulær bunnflate, og velger mål som gir en praktisk størrelse for en skolematboks:

Lengde $= 20$ cm, bredde $= 15$ cm, høyde $= 7$ cm (antatte mål).

Formel (volum av rett prisme): $V = \text{lengde} \cdot \text{bredde} \cdot \text{høyde}$

$$V = 20 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 2\,100 \text{ cm}^3$$

Med de antatte målene 20 cm $\times$ 15 cm $\times$ 7 cm får matboksen et volum på $2\,100 \text{ cm}^3$ (2,1 liter), noe som er en realistisk størrelse for en skolematboks.

Oppgave 7

Hyttegrunnen består av et stort kvadrat med side $(a+b)$, der et mindre kvadrat med side $b$ (gressplenen) er skåret bort i det nedre høyre hjørnet. Hyttearealet er derfor arealet av det store kvadratet minus arealet av det bortskårne kvadratet.

Formel (areal av kvadrat): $A = \text{side}^2$

Arealet av det store kvadratet med side $(a+b)$:

$$A_{stor} = (a+b)^2$$

Arealet av det bortskårne kvadratet med side $b$:

$$A_{bort} = b^2$$

Hyttearealet blir differansen mellom disse:

$$A_{hytte} = (a+b)^2 - b^2$$

Vi utvider parentesen $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$A_{hytte} = a^2 + 2ab + b^2 - b^2 = a^2 + 2ab$$

Dette viser at arealet av hytta kan skrives som $a^2 + 2ab$.

---

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1

Ida sitt diagram har en y-akse som går fra 0 kr til 250 kr, inndelt i 50-kroner. Juan sitt diagram viser de samme dataene, men med en y-akse som kun går fra 180 kr til 215 kr, inndelt i 5-kroner.

Fordi Juans y-akse starter på 180 kr i stedet for 0 kr, blir de små forskjellene mellom butikkene strukket ut og ser visuelt store ut, selv om de faktiske prisforskjellene mellom butikkene er små (på det meste ca. 20 kr av en totalpris på rundt 200 kr). Ida sitt diagram viser derimot søylene i riktig proporsjon til hverandre, siden y-aksen starter på 0.

Ida sitt diagram gir best informasjon om matvareprisene, fordi det viser de faktiske størrelsesforholdene mellom prisene i de fire butikkene. Juan sitt diagram er misvisende, fordi den avkuttede y-aksen overdriver prisforskjellene.

Oppgave 2

a) Grafene og funksjonstypene

$f(x) = 200x + 40$ er en lineær funksjon. Grafen er en rett linje med stigningstall 200 og konstantledd 40, det vil si at grafen skjærer y-aksen i punktet $(0, 40)$ og stiger jevnt med 200 for hver økning på 1 i $x$.

$g(x) = \frac{1000}{x} + 80$ er en omvendt proporsjonal (hyperbelformet) funksjon. Grafen er en hyperbel med en vannrett asymptote i $y = 80$: når $x$ blir stor, går $\frac{1000}{x}$ mot 0, og $g(x)$ nærmer seg 80. Når $x$ nærmer seg 0 (fra positiv side), vokser $g(x)$ mot uendelig. Funksjonen er ikke definert for $x = 0$.

$h(x) = -100x$ er en lineær funksjon gjennom origo. Grafen er en rett linje med stigningstall $-100$ og konstantledd 0, det vil si at grafen synker jevnt med 100 for hver økning på 1 i $x$, og går gjennom punktet $(0, 0)$.

b) Praktisk situasjon

Jeg velger $f(x) = 200x + 40$. Denne funksjonen kan beskrive en situasjon der noe koster 40 kr i et fast startgebyr, og deretter 200 kr per enhet $x$. For eksempel: en håndverker tar 40 kr i utrykningsgebyr, i tillegg til 200 kr per time arbeid $x$. Da vil $f(x) = 200x + 40$ vise totalprisen for $x$ timer arbeid.

Oppgave 3

a) Utfylling av regnearket

Lånet starter med lånesum 7 500,00 kr og etableringsgebyr 250,00 kr. Månedlig rente er 1,50 %, og månedlig gebyr er 15,00 kr.

For hver måned gjelder: kolonne B (grunnlag denne måneden) er lik kolonne E (gjeld) fra forrige måned. Kolonne C (rente) er B multiplisert med 1,50 %. Kolonne D (gebyr) er 15,00 kr. Kolonne E (ny gjeld) er B + C + D.

Måned 1 er gitt i oppgaven: $B = 7\,500{,}00 + 250{,}00 = 7\,750{,}00$ kr, $C = 7\,750{,}00 \cdot 1{,}50\,\% = 116{,}25$ kr, $D = 15{,}00$ kr, $E = 7\,750{,}00 + 116{,}25 + 15{,}00 = 7\,881{,}25$ kr.

Jeg fyller ut resten av regnearket med samme metode, der B hver måned er lik E fra måneden før:

Etter 12 måneder er gjelden 9 461,66 kr. Kostnaden ved utsettelsen er differansen mellom sluttgjelden og det opprinnelige lånet:

$$9\,461{,}66 \text{ kr} - 7\,500{,}00 \text{ kr} = 1\,961{,}66 \text{ kr}$$

Utsettelsen på ett år koster $1\,961{,}66 \text{ kr}$.

Resultatvisning:

Formelvisning:

b) Effektiv rente

Formel (vekstfaktor over ett år): vekstfaktor = ny gjeld / opprinnelig lånesum

Ny gjeld er sluttgjelden etter 12 måneder (9 461,66 kr), og opprinnelig lånesum er 7 500,00 kr:

$$\text{vekstfaktor} = \dfrac{9\,461{,}66}{7\,500{,}00} \approx 1{,}2616$$

En vekstfaktor på 1,2616 tilsvarer en vekst på:

$$(1{,}2616 - 1) \cdot 100\,\% \approx 26{,}2\,\% \approx 26\,\%$$

Dette viser at den årlige effektive renten er $\text{omtrent } 26\,\%$, som stemmer med det oppgaven ber om å vise.

Oppgave 4

Vi regner sannsynligheten for å trekke to blå kuler uten tilbakelegging fra hver skål.

Formel (sannsynlighet): $P = \dfrac{\text{gunstige utfall}}{\text{mulige utfall}}$

Her er «gunstige» antall blå kuler i skålen, og «mulige» er antall kuler i skålen.

Uten tilbakelegging er det én kule færre igjen i skålen etter første trekning. Vi multipliserer derfor sannsynligheten for blå kule nummer én med sannsynligheten for blå kule nummer to, gitt at den første var blå.

Skål 1 (3 blå, 2 røde, 5 kuler totalt): Første trekning: $\frac{3}{5}$. Andre trekning: $\frac{2}{4}$ (2 blå og 4 kuler igjen). $$P = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = 0{,}30$$

Skål 2 (2 blå, 3 røde, 5 kuler totalt): Første trekning: $\frac{2}{5}$. Andre trekning: $\frac{1}{4}$. $$P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = 0{,}10$$

Skål 3 (2 blå, 1 rød, 3 kuler totalt): Første trekning: $\frac{2}{3}$. Andre trekning: $\frac{1}{2}$. $$P = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}33$$

Skål 4 (5 blå, 3 røde, 8 kuler totalt): Første trekning: $\frac{5}{8}$. Andre trekning: $\frac{4}{7}$. $$P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} \approx 0{,}36$$

Sammenligner vi de fire sannsynlighetene, ser vi at Skål 4 gir høyest sannsynlighet:

$$0{,}36 > 0{,}33 > 0{,}30 > 0{,}10$$

Skål 4 gir størst sannsynlighet for å trekke to blå kuler, fordi den har den høyeste andelen blå kuler av de blå kulene som trekkes først, kombinert med at andelen holder seg relativt høy også ved andre trekning.

Oppgave 5

De to grafene viser to ulike modeller for hvordan antall følgere kan ha vokst fra 30 til 30 000 i løpet av 6 måneder, og begge går gjennom punktet $A(6, 30\,000)$.

Grafen $g$ er en rett linje fra origo $(0,0)$ til $A(6, 30\,000)$. Dette er en lineær modell: antallet følgere øker med et konstant antall hver måned.

Formel (stigningstall): $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Med punktene $(0,0)$ og $(6, 30\,000)$:

$$a = \dfrac{30\,000 - 0}{6 - 0} = 5\,000$$

Den lineære modellen er $g(x) = 5\,000x$, det vil si at antallet følgere øker med 5 000 hver måned.

Grafen $f$ starter nær 0 og vokser svært sakte de første månedene, før den stiger brått mot slutten og treffer samme punkt $A(6, 30\,000)$. Dette er en eksponentiell modell: antallet følgere vokser med en konstant vekstfaktor (prosentvis vekst) per måned i stedet for et konstant antall. En slik modell gir liten vekst i starten (når følgertallet er lavt) og stadig raskere vekst etter hvert som følgertallet øker, siden veksten er proporsjonal med det eksisterende antallet følgere.

Den eksponentielle modellen $f$ beskriver trolig veksten i antall følgere bedre enn den lineære modellen $g$, fordi følgervekst på sosiale medier typisk starter sakte og tar seg opp etter hvert som flere oppdager kontoen, i stedet for å øke med et jevnt antall hver måned.

Oppgave 6

a) Hva koden gjør

Her er koden, med kommentar til hver del:

# Be brukeren skrive inn radiusen til hver kule (float = desimaltall)
radius_liten_kule = float(input("skriv ønsket radius for minste kule: "))
radius_stor_kule = float(input("skriv ønsket radius for største kule: "))

# Regn ut volumet V = 4 * 3,14 * r^3 / 3 for hver kule (** betyr "opphøyd i")
volum_liten_kule = (4 * 3.14 * radius_liten_kule ** 3)/3
volum_stor_kule = (4 * 3.14 * radius_stor_kule ** 3)/3

# Forholdet: hvor mange ganger større er den store kulen enn den lille?
forhold_mellom_kulene = volum_stor_kule/volum_liten_kule

# Skriv svaret til skjermen
print("forholdet mellom kulene er: ", forhold_mellom_kulene)

Koden ber først brukeren om å skrive inn radiusen til den minste kulen og radiusen til den største kulen. Deretter regner den ut volumet til hver av de to kulene med formelen for kulevolum, $V = \frac{4 \cdot 3{,}14 \cdot r^3}{3}$ (der 3,14 brukes som tilnærming til $\pi$). Til slutt regner koden ut forholdet mellom volumet til den store kulen og volumet til den lille kulen, og skriver ut dette forholdet.

I testkjøringen er radius til den minste kulen 2 og radius til den største kulen 4. Da får vi:

$$V_{liten} = \dfrac{4 \cdot 3{,}14 \cdot 2^3}{3} = \dfrac{4 \cdot 3{,}14 \cdot 8}{3} \approx 33{,}49$$

$$V_{stor} = \dfrac{4 \cdot 3{,}14 \cdot 4^3}{3} = \dfrac{4 \cdot 3{,}14 \cdot 64}{3} \approx 267{,}95$$

$$\text{forhold} = \dfrac{V_{stor}}{V_{liten}} = \dfrac{267{,}95}{33{,}49} \approx 8{,}0$$

Dette stemmer med resultatet koden gir i testen: forholdet mellom kulene er 8,0.

b) Hvordan volumet endres når radius dobles

Volumformelen $V = \frac{4\pi r^3}{3}$ viser at volumet er proporsjonalt med radiusen opphøyd i tredje potens. Dobler vi radiusen, det vil si erstatter $r$ med $2r$, blir det nye volumet:

$$V_{ny} = \dfrac{4\pi (2r)^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 8r^3}{3} = 8 \cdot \dfrac{4\pi r^3}{3} = 8 \cdot V_{gammel}$$

Når radiusen dobles, blir volumet til kulen $8$ ganger så stort. Dette stemmer med testkjøringen i oppgaven, der radius dobles fra 2 til 4, og forholdet mellom volumene blir nettopp 8,0. Kjører vi koden på nytt med for eksempel radius 3 og 6, blir forholdet også 8,0, fordi $\frac{6^3}{3^3} = 2^3 = 8$.

Oppgave 7

Rutenettet har 5 kolonner, og tallene står fortløpende radvis fra 1 til 25. Det betyr at et tall som står rett under et annet tall, er 5 mer enn tallet over (bredden på rutenettet, 5, er avstanden mellom to tall i samme kolonne på etterfølgende rader).

Vi lar $k$ være tallet øverst til venstre i et vilkårlig 2$\times$2-kvadrat i rutenettet, og $w$ være bredden på rutenettet ($w = 5$). De fire tallene i kvadratet blir da:

$$k, \quad k+1, \quad k+w, \quad k+w+1$$

Produktene av de to diagonalene er $k \cdot (k+w+1)$ og $(k+1) \cdot (k+w)$. Vi regner ut differansen mellom det høyeste og det laveste produktet:

$$(k+1)(k+w) - k \cdot (k+w+1)$$

Vi utvider begge parentesene:

$$\begin{aligned} &= (k^2 + kw + k + w) - (k^2 + kw + k) \\ &= k^2 + kw + k + w - k^2 - kw - k \\ &= w \end{aligned}$$

Differansen mellom de to diagonalproduktene er altså $w$, uavhengig av hvilket tall $k$ kvadratet starter på.

Kontroll mot det røde kvadratet ($k = 12$, $w=5$): $13 \cdot 17 - 12 \cdot 18 = 221 - 216 = 5$. Kontroll mot det blå kvadratet ($k = 4$, $w=5$): $5 \cdot 9 - 4 \cdot 10 = 45 - 40 = 5$. Begge stemmer med utledningen.

Siden rutenettet i denne figuren har bredde $w = 5$, vil ethvert 2$\times$2-kvadrat som ligger helt inni rutenettet (uten å krysse fra en rad til neste rad på en måte som bryter mønsteret, det vil si der $k$ ikke står i siste kolonne) gi samme differanse. Den generelle sammenhengen er derfor at differansen mellom de to diagonalproduktene i et 2$\times$2-kvadrat alltid er lik bredden på rutenettet, som her er 5, uavhengig av hvor i rutenettet kvadratet står.

Oppgave 8

Statistikk for dusjetid

Datasettet for guttene (14 elever), sortert i stigende rekkefølge:

$$\begin{aligned}4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10,\ &\\ 10,\ 12,\ 15,\ 16,\ 18,\ 18,\ 25&\end{aligned}$$

Med 14 verdier er medianen gjennomsnittet av verdi nummer 7 og 8 i den sorterte rekken:

$$\text{Median}_{gutter} = \dfrac{10 + 10}{2} = 10 \text{ min}$$

Formel (gjennomsnitt): gjennomsnitt = sum av verdiene / antall verdier

Summen av alle verdiene:

$$\begin{aligned}&4+5+5+6+8+9+10+\\&10+12+15+16+18+18+25 = 161\end{aligned}$$

Delt på antall verdier (14):

$$\text{Gjennomsnitt}_{gutter} = \dfrac{161}{14} = 11{,}5 \text{ min}$$

Variasjonsbredden (høyeste minus laveste verdi):

$$25 - 4 = 21 \text{ min}$$

Datasettet for jentene (15 elever), sortert i stigende rekkefølge:

$$\begin{aligned}5,\ 5,\ 6,\ 8,\ 8,\ 10,\ 10,\ 12,\ &\\ 15,\ 15,\ 15,\ 17,\ 20,\ 30,\ 40&\end{aligned}$$

Med 15 verdier er medianen den midterste verdien, verdi nummer 8:

$$\text{Median}_{jenter} = 12 \text{ min}$$

Summen av alle verdiene:

$$\begin{aligned}&5+5+6+8+8+10+10+12+\\&15+15+15+17+20+30+40 = 216\end{aligned}$$

Delt på antall verdier (15):

$$\text{Gjennomsnitt}_{jenter} = \dfrac{216}{15} = 14{,}4 \text{ min}$$

Variasjonsbredden:

$$40 - 5 = 35 \text{ min}$$

Både medianen og gjennomsnittet er høyere for jentene (median 12 min mot 10 min, gjennomsnitt 14,4 min mot 11,5 min) enn for guttene, det vil si at jentene i denne klassen i snitt oppgir noe lengre dusjetid. Jentenes datasett har også en klart større variasjonsbredde (35 min mot 21 min), som i stor grad skyldes de to høye enkeltverdiene 30 og 40 minutter i datasettet.

Kostnad ved oppvarming av vann

Vi bruker de oppgitte opplysningene: 140 L vann brukt per person per døgn, vann fra krana holder 10 grader, varmtvannsberederen varmer det opp til 70 grader, og strømprisen er 1,00 kr per kWh.

Jeg antar at 1 liter vann veier 1 kg (vanns densitet), siden dette ikke er en oppgitt verdi i oppgaveteksten, men en kjent fysisk egenskap ved vann som trengs for å bruke formelen.

Temperaturøkningen er:

$$70\,{}^\circ\text{C} - 10\,{}^\circ\text{C} = 60\,{}^\circ\text{C}$$

Formel (energi for oppvarming, gitt i oppgaven): kg vann $\cdot$ temperaturøkning $\cdot 4{,}2$ kJ/kg = Mengde kJ

Kg vann er 140 kg (140 L), og temperaturøkningen er 60 °C:

$$\text{Mengde kJ} = 140 \text{ kg} \cdot 60\,{}^\circ\text{C} \cdot 4{,}2 \text{ kJ/kg} = 35\,280 \text{ kJ}$$

Formel (kJ om til kWh, gitt i oppgaven): $3\,600$ kJ $= 1$ kWh

$$35\,280 \text{ kJ} \div 3\,600 \text{ kJ/kWh} = 9{,}8 \text{ kWh}$$

Formel (pris for energi, gitt i oppgaven): Pris $= \frac{\text{Mengde kJ}}{3\,600 \text{ kJ}} \cdot x$ (pris per kWh)

Mengde kJ er 35 280 kJ, og pris per kWh er 1,00 kr:

$$\text{Pris} = \dfrac{35\,280}{3\,600} \cdot 1{,}00 \text{ kr} = 9{,}80 \text{ kr}$$

Å varme opp vannet en gjennomsnittsperson bruker på ett døgn (140 L, fra 10 til 70 grader) koster altså omtrent $9{,}80 \text{ kr}$ i strøm per døgn.

Denne beregningen gjelder det totale vannforbruket til en gjennomsnittsperson i Norge, ikke kun dusjing.

Alternativ tilnærming: kostnad per dusj

Oppgaveteksten ber også om å modellere sammenhengen mellom vannforbruk og pris, og Lucas nevner selv at "hvor mye vann det kommer per minutt" er noe man må ta stilling til. Det er ikke oppgitt hvor mange liter per minutt en dusj bruker, så dette må vi anta selv. Jeg antar $9$ L/min, en vanlig verdi for en moderne sparedusj.

Kombinert med de gjennomsnittlige dusjetidene fra spørreundersøkelsen ovenfor (11,5 min for gutter, 14,4 min for jenter) gir dette et vannforbruk per dusj på:

$$\text{Gutter: } 9 \text{ L/min} \cdot 11{,}5 \text{ min} = 103{,}5 \text{ L}$$ $$\text{Jenter: } 9 \text{ L/min} \cdot 14{,}4 \text{ min} = 129{,}6 \text{ L}$$

Vannkostnaden (2 øre per liter, oppgitt i oppgaveteksten):

$$\text{Gutter: } 103{,}5 \text{ L} \cdot 0{,}02 \text{ kr/L} = 2{,}07 \text{ kr}$$ $$\text{Jenter: } 129{,}6 \text{ L} \cdot 0{,}02 \text{ kr/L} = 2{,}59 \text{ kr}$$

Oppvarmingskostnaden regnes med samme formel som over (temperaturøkning 60 °C, 4,2 kJ/kg, 1,00 kr/kWh):

$$\text{Gutter: } \dfrac{103{,}5 \cdot 60 \cdot 4{,}2}{3\,600} \cdot 1{,}00 \text{ kr} = 7{,}25 \text{ kr}$$ $$\text{Jenter: } \dfrac{129{,}6 \cdot 60 \cdot 4{,}2}{3\,600} \cdot 1{,}00 \text{ kr} = 9{,}07 \text{ kr}$$

Total dusjkostnad (vann + oppvarming) blir dermed:

$$\text{Gutter: } 2{,}07 \text{ kr} + 7{,}25 \text{ kr} = \underline{9{,}32 \text{ kr per dusj}}$$ $$\text{Jenter: } 2{,}59 \text{ kr} + 9{,}07 \text{ kr} = \underline{11{,}66 \text{ kr per dusj}}$$

Med denne modellen dusjer altså jentene i klassen for omtrent 25 % mer per dusj enn guttene, i tråd med at de i snitt dusjer lenger. Dette svaret avhenger av antakelsen om 9 L/min — med et annet dusjhode (for eksempel 6 eller 12 L/min) skalerer tallene proporsjonalt.

© 2026 Ruben S. Johanssen, RubenMatte. Kun til privat bruk og skal ikke deles, publiseres eller selges videre.