Løsningsforslag — Eksamen 1P Høst 2025 (MAT1019)

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng)

Formel (strekning ved jevn fart): $s = v \cdot t$

Farten er 80 km/h, og tiden er 4 timer og 30 minutter, altså 4,5 timer:

$$s = v\cdot t = 80\cdot4{,}5 = \underline{360}$$

Strekningen mellom Mandal og Oslo er ca. $360\text{ km}$.

Oppgave 2 (2 poeng)

Formel (pris uten merverdiavgift): $\text{pris uten mva} = \frac{\text{pris med mva}}{1+\text{mva-sats}}$

Pris med mva er 200 kr, mva-satsen er 25 %, altså 0,25:

$$\text{pris uten mva} = \frac{200}{1+0{,}25} = \frac{200}{1{,}25} = \underline{160}\text{ kr}$$

Merverdiavgiften er differansen mellom pris med og pris uten mva:

$$\text{mva} = 200 - 160 = \underline{40}$$

Lukas betalte $40\text{ kr}$ i merverdiavgift.

Oppgave 3 (2 poeng)

Regel (standardform): et lite tall skrives som $a\cdot10^{-n}$, der $1\le a<10$.

Vekten til én støvpartikkel, $0{,}000\,000\,005$ gram, skrevet på standardform:

$$0{,}000\,000\,005 = 5\cdot10^{-9}\text{ gram}$$

Formel (antall enheter i en mengde): $\text{antall} = \frac{\text{total mengde}}{\text{mengde per enhet}}$

Total mengde er 20 gram støv, mengde per enhet er vekten til én støvpartikkel ($5\cdot10^{-9}$ gram):

$$\text{antall} = \frac{20}{5\cdot10^{-9}} = \underline{4\cdot10^{9}}$$

Det er ca. $4\cdot10^{9}$ (4 milliarder) støvpartikler i 20 gram støv.

Oppgave 4 (3 poeng)

Formel (volum av pyramide, gitt i oppgaveteksten): $V = \frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

a) Grunnflaten er et kvadrat med side $s$, altså $G = s^2$. Høyden er lik sidekanten i kvadratet, altså $h = s$. Setter dette inn i volumformelen:

$$V = \frac{1}{3}\cdot s^2\cdot s = \frac{s^3}{3}$$

Volumet er 9 dm³:

$$\frac{s^3}{3} = 9 \implies s^3 = 27 \implies s = \underline{3}$$

Siden $h=s$, er høyden også 3 dm.

Pyramiden er $3\text{ dm}$ høy.

b) To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem er konstant, det vil si at $V = k\cdot h$ for en fast konstant $k$ (grafen er da en rett linje gjennom origo).

For denne familien av pyramider er $h=s$, så volumet uttrykt ved høyden blir

$$V(h) = \frac{h^3}{3}$$

Forholdet mellom volum og høyde er

$$\frac{V(h)}{h} = \frac{h^3/3}{h} = \frac{h^2}{3}$$

Dette forholdet er ikke konstant: det vokser med $h^2$ når høyden øker. Volumet tredobler seg for eksempel ikke når høyden tredobles, men blir $3^3=27$ ganger så stort.

Ole har ikke rett: høyde og volum er ikke proporsjonale størrelser for disse pyramidene, fordi volumet vokser med høyden i tredje potens, ikke i takt med en konstant vekstfaktor per høydeenhet.

Oppgave 5 (2 poeng)

Formel (timelønn/stigningstall): $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{lønn}}{\text{antall timer}}$

Begge grafer er rette linjer gjennom origo. Ved $x=10$ treffer begge linjer rutenettet rent: Noras (grønne) graf går gjennom $(10,\ 2000)$, Nils' (blå) graf gjennom $(10,\ 1800)$.

a)

$$\text{Nora: } a = \frac{2000}{10} = \underline{200\text{ kr/t}}$$

$$\text{Nils: } a = \frac{1800}{10} = \underline{180\text{ kr/t}}$$

b) Differansen mellom de to timelønningene er $200-180=20$ kr/t. Med $h$ som antall timer hver av dem arbeidet samme uke, og at Nora tjente 720 kroner mer enn Nils:

$$20\cdot h = 720 \implies h = \frac{720}{20} = \underline{36\text{ timer}}$$

Kontroll: Nora tjener $200\cdot36=7200$ kr, Nils tjener $180\cdot36=6480$ kr, differanse $=720$ kr. ✓

Nora og Nils arbeidet $36\text{ timer}$ hver denne uken.

Oppgave 6 (5 poeng)

Formel (pris per enhet): $\text{pris per tur} = \frac{\text{totalpris}}{\text{antall turer}}$

30-dagersbilletten koster 1200 kr uansett antall turer:

Utregning bak tabellen: $1200/4=300$, $1200/8=150$, $1200/20=60$, $1200/30=40$.

a) Prisen per tur ved 4, 8, 20 og 30 turer er henholdsvis $300\text{ kr}$, $150\text{ kr}$, $60\text{ kr}$ og $40\text{ kr}$.

b) Prisen per tur som funksjon av antall turer $n$ er $K(n) = \frac{1200}{n}$. Grafen er en avtakende hyperbelgren: den faller brått for lave $n$-verdier (dyrt per tur ved få turer) og flater gradvis ut mot null for store $n$-verdier (billig per tur ved mange turer), uten noen gang å nå null.

c) En enkeltbillett koster 80 kr, uavhengig av antall turer. Dette er en vannrett linje $y=80$ i samme koordinatsystem som grafen til $K(n)$ fra b). Skjæringspunktet mellom $K(n)=1200/n$ og linjen $y=80$ finner vi ved

$$\frac{1200}{n} = 80 \implies n = \frac{1200}{80} = \underline{15}$$

Grafisk vil kurven $K(n)$ ligge over linjen $y=80$ for $n<15$ (enkeltbilletter lønner seg) og under linjen for $n>15$ (30-dagersbilletten lønner seg, fordi prisen per tur da er lavere enn 80 kr).

Det lønner seg å kjøpe 30-dagersbillett i stedet for enkeltbilletter dersom man skal ta bussen mer enn $15\text{ ganger}$ i løpet av perioden.

Oppgave 7 (3 poeng)

Programmet er:

tall = 1
differanse = 4
while tall <= 60:
    print(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

Kjører programmet steg for steg: tall starter på 1 og skrives ut, deretter økes tall med differanse (som selv øker med 3 for hver runde):

Etter runde 6 blir tall = 51+19 = 70, som er større enn 60, og løkka stopper.

Tallene som blir skrevet ut, er $1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35,\ 51$.

Dette er nettopp femkanttallene (pentagonal numbers), gitt ved formelen $P(n) = \frac{n(3n-1)}{2}$:

$$P(1)=1,\quad P(2)=5,\quad P(3)=12,\quad P(4)=22,\quad P(5)=35,\quad P(6)=51$$

Sammenhengen Siri har oppdaget, er at differansen mellom to påfølgende femkanttall selv øker med $3$ for hvert nytt ledd (4, 7, 10, 13, 16, 19, …), det vil si at femkanttallene vokser kvadratisk (som $P(n)=\frac{n(3n-1)}{2}$), ikke lineært.

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (7 poeng)

Formel (potensmodell, gitt i oppgaveteksten): $F(x) = a\cdot x^b$

a) Bruker GeoGebra: legger de seks tallparene fra tabellen inn i regnearket, markerer punktene, og bruker kommandoen for potensregresjon (Regresjon med potens-modell) til å tilpasse $F(x)=a\cdot x^b$ til datapunktene.

Regresjonen gir

$$a \approx \underline{0{,}00966}, \qquad b \approx \underline{3{,}00}$$

Sjekker modellen mot et par av tabellverdiene, for eksempel $x=100$ og $x=50$:

$$F(100) = 0{,}00966\cdot100^{3{,}00} \approx 9660\text{ g} \quad(\text{tabell: }9610\text{ g})$$

$$F(50) = 0{,}00966\cdot50^{3{,}00} \approx 1208\text{ g} \quad(\text{tabell: }1190\text{ g})$$

Modellen treffer tabellverdiene godt (avvik under 2 %). Grafen til $F(x)=0{,}00966\cdot x^{3{,}00}$ er en stigende, konkav-opp kurve gjennom omtrent origo, som vokser raskere og raskere jo lengre fisken er.

$a \approx 0{,}00966$ og $b \approx 3{,}00$, altså $F(x) = 0{,}00966\cdot x^{3{,}00}$.

b) Vekten er 11,5 kg, altså 11 500 gram. Løser $F(x)=11\,500$ med hjelp av GeoGebra (skjæringspunkt mellom grafen til $F$ og den vannrette linjen $y=11\,500$):

$$0{,}00966\cdot x^{3{,}00} = 11\,500 \implies x \approx \underline{106}$$

Ifølge modellen er en fisk som veier 11,5 kg, ca. $106\text{ cm}$ lang.

c) Formel (stigningstall): $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Regner ut $F(75)$ og $F(95)$, som blir våre to punkter:

$$F(75) = 0{,}00966\cdot75^{3{,}00} \approx \underline{4075}\text{ g}$$

$$F(95) = 0{,}00966\cdot95^{3{,}00} \approx \underline{8282}\text{ g}$$

Stigningstallet til den rette linjen gjennom $(75,\ 4075)$ og $(95,\ 8282)$:

$$a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8282-4075}{95-75} = \frac{4207}{20} \approx \underline{210}$$

Stigningstallet er ca. $210\text{ g/cm}$. Dette betyr at i lengdeintervallet 75–95 cm øker vekten til fisken i gjennomsnitt med ca. 210 gram for hver ekstra centimeter i lengde.

d) Formel (vekstfaktor for potensfunksjon ved endring i $x$): dersom $x$ multipliseres med en vekstfaktor $k$, multipliseres $F(x)=a\cdot x^b$ med $k^b$, fordi $a\cdot(kx)^b = a\cdot x^b\cdot k^b$.

En økning i lengde på 20 % svarer til vekstfaktoren $k=1{,}20$ for lengden. Med $b\approx3{,}00$:

$$k^b = 1{,}20^{3{,}00} \approx \underline{1{,}728}$$

En vekstfaktor på 1,728 svarer til en økning på

$$(1{,}728-1)\cdot100\,\% \approx \underline{72{,}8\,\%}$$

Ifølge modellen vil vekten til fisken øke med ca. $73\,\%$ dersom lengden øker med 20 %. (Siden $b\approx3$, vokser vekten omtrent som lengden i tredje potens, og det stemmer med at fisken vokser tilnærmet "formlik" med seg selv, altså beholder samme kroppsfasong etter hvert som den blir lengre.)

Oppgave 2 (4 poeng)

De ni grafene er nummerert 1–9 i et 3×3-rutenett i oppgaveteksten. Slik ser de ut: graf 1 er en rett, avtakende linje; graf 2 er en S-formet kurve (flat, så bratt, så flat igjen); graf 3 er en trappefunksjon med tre stigende, vannrette trinn; graf 4 er en avtakende kurve som starter i et endelig toppunkt og flater mot null; graf 5 er en rett, økende linje gjennom origo; graf 6 er en økende, avtakende-stigningstall-kurve (konkav ned); graf 7 og 9 er stykkevis lineære, økende kurver med et knekkpunkt; graf 8 er en sterkt avtakende hyperbelgren med loddrett asymptote nær y-aksen.

• Situasjon A (dyrebestand avtar med en fast prosent hvert år): eksponentiell nedgang fra et endelig starttall, flater mot null. Dette matcher graf 4.
• Situasjon B (fast pris fordeles likt på de som leier badstue): kostnad per person $K(x)=k/x$, omvendt proporsjonal sammenheng, altså en hyperbelgren med bratt fall nær y-aksen, samme type kurve som prisen per busstur i Del 1, oppgave 6. Dette matcher graf 8.
• Situasjon C (fuglebestand: eksponentiell vekst, deretter lineær, deretter stabilisering): en S-formet kurve (flat → bratt → flat). Dette matcher graf 2.
• Situasjon D (pakkepriser: 73 kr for 0–5 kg, 135 kr for 5–10 kg, 240 kr for 10–25 kg): en trappefunksjon med tre stigende, vannrette trinn. Dette matcher graf 3.

Situasjon A → graf $4$, situasjon B → graf $8$, situasjon C → graf $2$, situasjon D → graf $3$. (Graf 1, 5, 6, 7 og 9 er distraktorer som ikke hører til noen av de fire situasjonene.)

Oppgave 3 (2 poeng)

Artikkelen (nrk.no, 14. april 2025) oppgir: "Nå skylder 229.963 nordmenn 57 milliarder kroner i betalingsanmerkninger... Antallet personer som skylder penger... utgjør 4,8 prosent av landets befolkning over 18 år."

a) Formel (gjennomsnitt): $\text{gjennomsnitt} = \frac{\text{total sum}}{\text{antall personer}}$

$$\frac{57\cdot10^{9}\text{ kr}}{229\,963} \approx \underline{247\,900\text{ kr}}$$

Hver person med utestående betalingsanmerkninger skylder i gjennomsnitt ca. $248\,000\text{ kr}$.

b) De 229 963 personene utgjør 4,8 % av befolkningen over 18 år. Kaller befolkningen over 18 år for $B$:

$$0{,}048\cdot B = 229\,963 \implies B = \frac{229\,963}{0{,}048} \approx \underline{4\,790\,000}$$

Det er ca. $4{,}8\text{ millioner}$ personer i Norge som er over 18 år.

Oppgave 4 (2 poeng)

Formel (enhetsomregning og valutaomregning): $\text{pris per kg i NOK} = \frac{\text{pris i USD}}{\text{antall kg}}\cdot\text{valutakurs}$

Synnøve betaler 4,18 USD for 3 pund epler. Regner om pund til kilogram, siden 1 lb $\approx$ 0,454 kg:

$$3\text{ lb} = 3\cdot0{,}454 = \underline{1{,}362}\text{ kg}$$

Prisen per kilo i amerikanske dollar:

$$\frac{4{,}18}{1{,}362} \approx \underline{3{,}07}\text{ USD/kg}$$

Regner om til norske kroner med valutakursen 1 USD $=$ 10,16 NOK:

$$3{,}07\cdot10{,}16 \approx \underline{31{,}18}$$

Ett kilogram epler kostet ca. $31{,}18\text{ kr}$.

Oppgave 5 (2 poeng)

Formel (vekstfaktor): $\text{vekstfaktor} = 1 \pm \text{prosentendring}$

Verdien har gått ned 23 %, altså er vekstfaktoren ved nedgangen

$$1-0{,}23 = \underline{0{,}77}$$

For at aksjen skal komme tilbake til opprinnelig verdi, må den nye (lavere) verdien multipliseres med en vekstfaktor som akkurat opphever nedgangen. Kaller den nødvendige vekstfaktoren for oppgang $k$:

$$0{,}77\cdot k = 1 \implies k = \frac{1}{0{,}77} \approx \underline{1{,}2987}$$

En vekstfaktor på 1,2987 svarer til en økning på

$$(1{,}2987-1)\cdot100\,\% \approx \underline{29{,}9\,\%}$$

Verdien må øke med ca. $29{,}9\,\%$ for at aksjen skal ha samme verdi som før nedgangen. (Prosenten er større enn de opprinnelige 23 %, fordi oppgangen må regnes ut fra det lavere utgangspunktet etter nedgangen.)

Oppgave 6 (4 poeng)

Formel (avstand fra bueminutter): $\text{avstand} = \text{antall bueminutter}\cdot\text{avstand per bueminutt}$

a) Én breddegrad er delt inn i 60 bueminutter, og avstanden mellom hvert bueminutt er 1852 meter (1 nautisk mil):

$$60\cdot1852 = \underline{111\,120}\text{ m} = \underline{111{,}12\text{ km}}$$

Det viser at avstanden mellom hver breddegrad er ca. $111{,}12\text{ km}$, som skulle vises.

b) Formel (omkrets fra avstand per grad): $\text{omkrets} = 360\cdot\text{avstand per breddegrad}$

Jorden har 360 breddegrader rundt (fra pol til pol og tilbake, målt langs en meridian), og avstanden per grad er 111,12 km fra a):

$$\text{omkrets} = 360\cdot111{,}12 \approx \underline{40\,003\text{ km}}$$

En tilnærmet verdi for omkretsen av jorden er ca. $40\,000\text{ km}$.

c) Breddegraddifferansen mellom Oslo (59,9°) og Trondheim (63,4°):

$$63{,}4-59{,}9 = \underline{3{,}5}\text{ breddegrader}$$

Avstanden mellom byene, langs meridianen:

$$3{,}5\cdot111{,}12 \approx \underline{388{,}9}\text{ km}$$

Formel (andel av en helhet i prosent): $\text{andel} = \frac{\text{del}}{\text{helhet}}\cdot100\,\%$

Del er avstanden mellom Oslo og Trondheim (388,9 km), helhet er hele jordomkretsen (40 003 km fra b):

$$\frac{388{,}9}{40\,003}\cdot100\,\% \approx \underline{0{,}97\,\%}$$

Avstanden mellom Oslo og Trondheim utgjør ca. $0{,}97\,\%$ av jordas omkrets.

Oppgave 7 (6 poeng)

Formel (omkrets av bedet, gitt i oppgaveteksten): $O = 2y+x+\frac{\pi\cdot x}{2}$

a) Bedet er formet som et rektangel med bredde $x$ og lengde $y$, med en halvsirkel i den ene enden (halvsirkelens diameter er $x$, altså radius $x/2$). Gjerdet går rundt hele utsiden av figuren:

• de to lange sidene av rektangelet, til sammen $2y$,
• den korte, rette enden av rektangelet (motsatt halvsirkelen), $x$,
• og buen til halvsirkelen, som er halvparten av omkretsen til en hel sirkel med radius $x/2$: $\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot\frac{x}{2} = \frac{\pi x}{2}$.

Legger disse tre bidragene sammen:

som er akkurat omkretsformelen oppgitt i oppgaveteksten, og dermed er den vist.

b) Gjerdet er 12 meter, og $x=1$ meter. Setter inn i omkretsformelen fra a):

$$2y + 1 + \frac{\pi\cdot1}{2} = 12$$

$$2y = 12 - 1 - \frac{\pi}{2} = 11 - \frac{\pi}{2}$$

$$y = \frac{11-\pi/2}{2} \approx \frac{11-1{,}571}{2} = \frac{9{,}429}{2} \approx \underline{4{,}7}$$

Når $x=1$ meter og gjerdet er 12 meter langt, blir $y$ ca. $4{,}7\text{ meter}$, som skulle vises.

c) Formel (areal av sammensatt figur): $A = x\cdot y + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2$

Arealet er summen av rektangelets areal ($x\cdot y$) og halvsirkelens areal (halvparten av $\pi r^2$ med $r=x/2$). Med $x=1$ og $y=4{,}7$:

$$A = 1\cdot4{,}7 + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4{,}7 + \frac{\pi}{8} \approx 4{,}7+0{,}39 = \underline{5{,}1}$$

Arealet blir ca. $5{,}1\text{ m}^2$ når $x=1$ og $y=4{,}7$.

d) Løser omkretsformelen $O=12$ for $y$ som funksjon av $x$ (samme fremgangsmåte som i b), generelt):

$$y(x) = \frac{12-x-\pi x/2}{2} = 6 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}$$

Setter dette inn i arealformelen fra c) og regner ut for flere verdier av $x$:

Gyldig område for $x$ er $0<x<\frac{24}{2+\pi}\approx4{,}67$ meter, siden $y$ må være positiv.

Oversikten viser at arealet først øker med $x$, når en topp et sted mellom $x=3$ og $x=3{,}5$ meter, og deretter avtar igjen. Det finnes altså en $x$-verdi som gir størst mulig areal, se e).

e) Setter arealuttrykket fra c) og d) sammen til én funksjon av $x$ alene:

$$A(x) = x\cdot y(x) + \frac{\pi}{8}x^2 = x\left(6-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\right) + \frac{\pi}{8}x^2$$

$$A(x) = 6x - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{8}$$

Dette er en andregradsfunksjon $A(x) = ax^2+bx+c$ med $a = -\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\approx-0{,}893$, $b=6$ og $c=0$. Grafen er en parabel som vender grenene nedover, så den har et toppunkt som gir det største arealet.

Formel (toppunkt for andregradsfunksjon): $x_{\text{topp}} = -\frac{b}{2a}$

$$x_{\text{topp}} = -\frac{6}{2\cdot(-0{,}893)} \approx \underline{3{,}36}$$

Setter $x_{\text{topp}}$ inn i $A(x)$ for å finne det maksimale arealet, og i $y(x)$ fra d) for å finne tilhørende lengde:

$$A_{\text{topp}} = A(x_{\text{topp}}) \approx \underline{10{,}08}$$

$$y(x_{\text{topp}}) = 6 - \frac{3{,}36}{2} - \frac{\pi\cdot3{,}36}{4} \approx \underline{1{,}68}$$

Med GeoGebra kan man også tegne grafen til $A(x)$ direkte og lese av toppunktet, og det bekrefter samme punkt.

Det størst mulige arealet er ca. $10{,}1\text{ m}^2$, og det oppnås når $x\approx\underline{3{,}4\text{ m}}$ (og tilsvarende $y\approx\underline{1{,}7\text{ m}}$).

© 2026 Ruben S. Johanssen, RubenMatte. Kun til privat bruk og skal ikke deles, publiseres eller selges videre.